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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet septembre 2005}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{Brevet des collèges}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane  septembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5 cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les expressions suivantes :

\[\text{A}  = \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} \times\dfrac{4}{21}\quad \text{B}  = \dfrac{12 \times 10^2 \times \left(10^{-2}\right)^3}{8 \times  10^{-3}}\quad
\text{C}  = 7\sqrt{32} - 6\sqrt{2} - 3\sqrt{56}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et écrire le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item  Donner l'écriture scientifique de B.
\item  Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $D = (2x + 3)^2 + (x - 8) (2x + 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $D$.
\item  Factoriser $D$.
\item  Résoudre l'équation $(2x + 3)(3x- 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x+ 2y& =& 50,30\\
x + 3y &=& 32,75\\
\end{array}\right.\]

\item  À la pépinière \og Fruifleur \fg, un client achète 3 orangers et 2 citronniers pour 50,30~euros. Un autre client paye 32,75 euros pour 1 oranger et 3 citronniers. On désigne par $x$ le prix d'un oranger et $y$ celui d'un citronnier.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un système de deux équations qui traduit le problème. 
		\item Calculer le prix d'un oranger et le prix d'un citronnier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5 cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textsl{Le dessin sera fait sur une feuille de papier millimétré (l'unité étant le centimetre).}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal (O,  I, J), placer les points suivants :

\[\text{A}(-2~:~-1)\qquad	\text{B}(2~;~-3) \qquad \text{C}(3~;~4).\]
	
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$.
\item Construire le point D, image du point B dans la translation de vecteur
$\vect{\text{AC}}$. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? On justifiera la réponse.
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textsl{La figure suivante n'est pas à reproduire. Elle n'est pas conforme aux mesures données.}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{ On donne : AB = 18cm ; BC = 12 cm ; BE = 7,5 cm ; BF = 5 cm ; AE = 19,5 cm. Les droites (FC) et (AE) sont parallèles.} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(4,3)%\psgrid[subgriddiv=10]
\psline(0,0)(4,3) \psline(4,0)(2,3)
\psline(0,0.5)(4,0.5) \psline(0,2.5)(4,2.5)
\uput[dr](0.7,0.5){A}  \uput[dl](3.65,0.5){E}  \uput[d](2.65,2){B}  \uput[dr](3.35,2.5){C}  \uput[dl](2.3,2.5){F}  
\end{pspicture}}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Calculer FC,
\item Montrer que ABE est un triangle rectangle. 
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$. 
\item En déduire la valeur arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$.
\item Une pyramide SABE a pour base le triangle ABE. Sa hauteur [SB] vaut 21 cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer son volume V. 
		\item Une réduction S$'$A$'$B$'$E$'$ de cette pyramide est telle que sa hauteur [SB$'$] mesure 7 cm, Quel est le coefficient de réduction ? En déduire le volume V de S$'$A$'$B$'$E$'$

\textsl{Rappel :} Volume d'une pyramide = $\dfrac{1}{3} \times$ aire de Ia hase $\times$ hauteur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\bigskip
 
Un théâtre propose deux prix de places :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] plein tarif: 20 euros
\item[$\bullet~$] tarif adhérent : réduction de 30\,\% du plein tarif.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le prix d'une entrée au tarif adhérent ? 
		\item  Pour avoir droit À la réduction de 30\,\%
 pour chaque entrée, l'adhérent doit acheter en début de saison une carte d'abonnement. Sachant qu'un adhérent a dépensé au total (y compris le prix de la carte) 148 euros pour 7 entrées, montrer, À l'aide d'une équation, que le prix de la carte d'abonnement est de 50 euros. \item Recopier et compléter le tableau suivant :
 
 \begin{center}\begin{tabular}{l |*{3}{c|}c}\hline
Nombre $x$ d'entrées &$\quad 0 \quad$&$\quad 1 \quad$&$\quad 10 \quad$&$\quad 15 \quad$\\ \hline
Prix $p_{1}$ (en euros)&&&&\\ \hline
Prix $p_{2}$ (en euros)&&&&\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $x$ le nombre d'entrées et on note :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $p_{1}$ la dépense totale d'un spectateur qui n'est pas adhérent ;
\item[$\bullet~$] $p_{2}$ la dépense totale d'un adhérent.
\end{itemize}

Exprimer $p_{1}$ et $p_{2}$ en fonction de $x$.
\item  On considère les fonctions :

 \[p_{1}(x) = 20x \quad \text{et} \quad p_{2}(x) =  14x+50,\]
 
  comme des fonctions définies pout tout nombre positif $x$.
  
Représenter ces fonctions dans un même repère orthogonal. On choisira pour unités :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses : 1 cm pout une entrée 
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 20 euros.
\end{itemize}

À partir de la lecture du graphique, indiquer : 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  le tarif le plus avantageux pour 6 entrées ; 
		\item  le nombre minimal d'entrées pour	que l'abonnement soit avantageux.
		\item  Un adhérent constate que, sans abonnement, il aurait dépensé 46 euros de plus. Combien d'entrées cet adhérent totalise-t-il ?
	\end{enumerate}
\item  Retrouver le résultat de la question 4. c. à l'aide d'une équation.
\end{enumerate}
\end{document} 