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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Asie du Sud-Est}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie du Sud-Est juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Activités numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $D = (5x - 1)^2 - 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation $(5x + 2)(5x - 4) = 0.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Claire et Marie partent ensemble faire leurs courses au supermarché.

Claire achète 3 kg de pommes et 2 kg de fraises ; elle paie, en tout, $66$ francs.

Marie achète 5 kg de pommes et 1 kg de fraises, pour un prix total de $61$ francs.

Calculer le prix d'un kg de pommes et celui d'un kg de fraises, dans ce supermarché.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un magasin, on établit chaque soir un relevé des chèques reçus dans la journée. 

La répartition du lundi est donnée dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
\footnotesize $m$ : montant en F du chèque&$0 \leqslant m < 200$&$200 \leqslant m < 400$& $400 \leqslant m < 600$& $600~ \leqslant m < 800$& $800 \leqslant m < \np{1000}$\\ \hline
\footnotesize nombre de chèques& 70 &120 &90 &60 &10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter l'histogramme ci-dessous représentant cette situation.
\item Quel est le pourcentage de chèques d'un montant strictement inférieur à $600$ F par rapport au nombre total de chèques ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.007cm,yunit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-100,-10)(1700,120)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,labels=y,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(1700,120)
\psline(0,70)(200,70)(200,0)
\uput[r](0,115){nombre de chèques}
\uput[d](1400,0){montant du chèque (en F)}
\uput[d](200,0){200}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Activités géométriques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.51\linewidth}
On considère la figure ci- contre.

Les droites (EF) et (BC)sont parallèles.

L'unité de longueur étant le cm, on donne :

AE = 6 ; EB = 1,5 ; AC = 9 ; BC = 6,5 ; BG = 1,3.

(Les dimensions ne sont pas respectées sur la figure.)
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4.6)
%\psgrid
\psline(5.8,2.1)(0.2,4.6)(1.9,0)%CAB
\psline(0.6,1.2)(5,3.1)%EF
\psline(1.2,0.4)(5.5,2.3)%BC
\psline(2.05,0.9)(2.15,0.7)
\uput[l](0.2,4.6){A} \uput[dl](1.8,0.6){B} \uput[d](5.6,2.2){C} \uput[ul](1.34,1.45){E} \uput[u](4.23,2.8){F}
\uput[dr](2.1,0.8){G}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer AF en précisant la propriété utilisée.
\item Démontrer que les droites (AC) et (EG)sont parallèles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
Un chapiteau est constitué d'un cylindre de révolution surmonté d'un cône de révolution de même base. 

La hauteur totale du chapiteau est de 9,5 m.

On appelle S le sommet du cône et O le centre de sa base.

[AB] est un diamètre de cette base ; AB $= 24$ m.

La hauteur SO du cône est égale à 6 m.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3.6,2.1)
\psellipticarc(0,0)(1.5,0.55){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.5,0.55){0}{180}
\psellipticarc(0,-0.8)(1.5,0.55){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-0.8)(1.5,0.55){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](-1.5,0)(1.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,1.8)(3.3,1.8)
\psline[linestyle=dashed](0,1.8)(0,-0.8)(3.3,-0.8)
\psline(-1.5,0)(-1.5,-0.8)
\psline(1.5,0)(1.5,-0.8)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-1.5,-1.5)(1.5,-1.5)\uput[d](0,-1.5){24 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.5,-0.8)(2.5,1.8)\uput[r](2.5,0.5){9,5 m}
\uput[u](0,1.8){S} \uput[l](0,0){O} \uput[l](-1.5,0){A} \uput[r](1.5,0){B}
\psline(-1.5,0.1)(0,1.8)(1.5,0.1)%ASB 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la génératrice [SA] du cône.
\item En prenant 3,14 pour valeur de $\pi$,calculer le volume total du chapiteau.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ à $1\degres$ près par défaut.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La figure de cet exercice est à compléter.

ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [DC), tel que AB = BC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point E, image du point D par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.

 Recopier et compléter les égalités : 
 
$\vect{\text{AB}} + \vect{\text{BD}} = \ldots$ ; \quad  $\vect{\text{CA}} + \vect{\text{CD}} = \ldots$.
\item Construire, en couleur, l'image du trapèze ABCD par la rotation de centre B, d'angle $90\degres$, en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\pspolygon(1.2,2.7)(3.7,2.7)(3.7,0.2)(0.2,0.2)%ABCD
\rput(2.4,2.7){/}\rput(2.5,2.7){/}\rput{-30}(3.7,1.4){/}\rput{-30}(3.7,1.3){/}
\uput[ul](1.2,2.7){A} \uput[ur](3.7,2.7){B} \uput[dr](3.7,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Problème}

\medskip

\emph{La partie B peut être traitée avant la partie A}

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal d'origine O, tracer les droites $\left(\Delta_1 \right)$ et $\left(\Delta_2 \right)$ d'équations respectives :

\[y = 6x \quad \text{et}\quad  y =- \dfrac32 x + 18.\]

Prendre $2$ cm pour unité sur l'axe des abscisses et $0,5$ cm pour unité sur l'axe des ordonnées. 

Le candidat utilisera une feuille de papier millimétrique.
\item Soit S le point d'intersection des droites $\left(\Delta_1 \right)$ et $\left(\Delta_2 \right)$.

Calculer le coordonnées de S.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

L'unité de longueur est le cm, et l'unité d'aire est le cm$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ABC est un triangle tel que AB $= 6$, AC $= 8$ et BC $= 10$.

Construire le triangle ABC et démontrer qu'il est rectangle en A.
\item Placer les points I et D, milieux respectifs de [AB] et [BC].

Démontrer que les droites (ID) et (AC) sont parallèles et calculer ID.
\item Soit M un point quelconque du segment [ID].

Construire le point symétrique de M par rapport à I et démontrer que le quadrilatère BMA
est un losange.
\item On pose MI $= x$ ; le nombre $x$ est alors compris entre $0$ et $4$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'aire $\mathcal{A}_1$ du losange BMAN est égale à $6x$.
		\item Exprimer MD en fonction de $x$ et montrer que l'aire $\mathcal{A}_2$ du trapèze
MDCA est égale à $18 - \dfrac32 x$.


\emph{Rappel} : aire d'un trapèze $ = \dfrac{(\text{grande base}+ \text{petite base}) \times \text{hauteur}}{2}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C.}

\medskip 

En se servant de la partie A, indiquer pour queUe valeur de $x$ l'aire $\mathcal{A}_1$ du losange BMAN est égale à l'aire $\mathcal{A}_2$ du trapèze MDCA et préciser la valeur de cette aire.
\end{document}