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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\lfoot{\small{juin 1999}}
\rfoot{\small{Asie du Sud Est}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Asie du Sud Est juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 }:

\medskip

On donne :

\[A = \left(\dfrac34 - \dfrac12\right) \times 2 - 1 \qquad  \left(\dfrac23\right)^2 - \dfrac32.\]

Calculer $A$ et $B$ et donner le résultat sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 2 }:

\medskip

On donne :

\[C = \sqrt{12},\quad  D = \sqrt{27},  \quad E = \sqrt{20}\]


\begin{enumerate}
\item Exprimer $C,\, D$ et $E$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\item Calculer $C \times D$.
\item Calculer $C + D$ et $C \times E$, donner le résultat sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 }:

\medskip

Soit $F=(3x - 5)^2 - (3x - 5)(x + 4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Calculer $F$ pour $x = 1$ puis pour $x = 4,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 }:

\medskip

Deux cahiers et trois stylos coûtent 60 F.

Trois cahiers et deux stylos coûtent 10 F de plus.

Calculer le prix d'un cahier et le prix d'un stylo.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 }:

\medskip

\begin{minipage}{0.51\linewidth}ABC est un triangle rectangle en A.

On a : AB $= 4,8$ ;  AC $= 3,6$ ; CE $= 2,4$ ;  CF $= 4$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer BC.
\item Démontrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$, en donner l'arrondi au degré près.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,4)
\pspolygon(0.5,0)(5.4,0)(0.5,3.5)%ABC
\psline(0,1.2)(5.2,1.2)%EF
\psframe(0.5,0)(0.75,0.25)
\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](5.4,0){B} \uput[u](0.5,3.5){C} \uput[ul](0.5,1.2){E} \uput[ur](3.7,1.2){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2 }:

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\psframe(3.5,3.5)%ABFE
\psline(3.5,0)(4.9,1)(4.9,4.5)(3.5,3.5)%BCGF
\psline(4.9,4.5)(1.4,4.5)(0,3.5)%GSE
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](0,0)(1.4,1)(c)%ADS
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](0,0)(1.4,4.5)(3.5,0)(4.9,1)(1.4,4.5)%ASBCS
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](1.4,1)(4.9,1)%DC
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3.5,0){B} \uput[dr](4.9,1){C} \uput[dr](1.4,1){D}
\uput[ul](0,3.5){E} \uput[u](3.5,3.5){F} \uput[ur](4.9,4.5){G} \uput[ul](1.4,4.5){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

ABCDEFGS est un cube d'arête $3$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en cm$^3$, le volume de la pyramide SABCD.
\item Dessiner en vraie grandeur les faces SAD puis SAB (sachant que le triangle SAB est rectangle en A).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 }:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un repère orthogonal (O, I, J) du plan et placer les points : A(2~;~3) B$(- 4~;~6)$ E(6~;~5)
\item Construire le point F image du point E par la translation de
vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer les coordonnées du point F.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre et l'unité d’aire est le centimètre carré.

\medskip

Un rectangle ABCD est tel que AB $= 5$ et 

AD $= 4$. 

E est le point du segment [AB] tel que AE $= 1$.

M est un point du segment [BC].

On pose BM $= x$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(6,5)
\psframe(0.5,0.5)(5.4,4)%DCBA
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.5)(5.4,1.4)(1.5,4)%DME
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,4.5)(1.5,4.5)\uput[u](1,4){1}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,4.5)(5.4,4.5)\uput[u](2.95,4){4}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.2,4)(0.2,0.5)\uput[l](0.2,2.25){4}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(5.65,4)(5.65,1.4)\uput[r](5.65,2.7){$x$}
\rput(4.5,1){$\mathcal{A}_3 $}\rput(4.5,3){$\mathcal{A}_2 $}\rput(0.8,3){$\mathcal{A}_1 $}
\uput[ul](0.5,4){A} \uput[ur](5.4,4){B} \uput[dr](5.4,0.5){C} \uput[dl](0.5,0.5){D} \uput[ur](1.5,4){E}\uput[dr](5.4,1.4){M}
 \end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}_1 $ du triangle AED.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x $ :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'aire $\mathcal{A}_2 $ du triangle EBM;
\item[$\bullet~~$] la longueur MC ;
\item[$\bullet~~$] l'aire $\mathcal{A}_3 $  du triangle DMC.
\end{itemize}
		\item Montrer que la somme des trois aires $\mathcal{A}_1 $ , $\mathcal{A}_2 $ ,  $\mathcal{A}_3 $ est $12 - 0,5x$.
				
En déduire que l'aire de la partie grisée est $8 + 0,5x$.
		\item Calculer la valeur de x pour laquelle l'aire de la partie grisée est égale à la somme des trois aires $\mathcal{A}_1 $  , $\mathcal{A}_2 $  et $\mathcal{A}_3 $.

Quelle est alors la position du point M ?
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
On choisira 1 cm pour représenter une unité sur chacun des deux axes.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer, dans ce repère, la droite $\left(d_1\right)$ d'équation $y = 8 + 0,5x$ et la droite $\left(d_2\right)$ d'équation $y = 12 - 0,5x$.
		\item Lire sur le graphique les coordonnées du point I, commun aux droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
		
Que représentent l'abscisse et l'ordonnée du point I, en relation avec la partie c. de la question 2. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}