\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P{}.C.},
pdftitle = {septembre 1971},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Asie\footnote{Cambodge, Laos, Japon}~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + y &=& 5\\
4x + 3y &=& 10.
\end{array}\right.\]

\item Soit l'équation $x - 3y = m$.

Déterminer la valeur de $m$ pour que cette équation soit vérifiée par la solution du système précédent.
\item On construit les droites représentant les équations: 

\[\begin{array}{l c l}
y&=&-3x + 5\\
y&=&-\dfrac{4}{3}x + \dfrac{10}{3}\\
y&=&\dfrac{5}{3}x + \dfrac{5}{3}
\end{array}\]

Quelle particularité présentent ces droites ? Pouvait-on prévoir le résultat ?
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

On donne un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et de centre O.

Sur le rayon perpendiculaire à [AB] on porte OC $ = \dfrac{3R}{4}$.

La droite (AC) coupe le demi-cercle en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AC en fonction de $R$.
\item Comparer les triangles AOC et ADB ; donner la valeur
du rapport de similitude.

Calculer AD, DB, en fonction de $R$, ainsi que la longueur de la hauteur [DH]
du triangle ADB.
\item On prolonge [CO] d'une longueur OE $= R$.

Démontrer que le quadrilatère ADBE est inscriptible.

Que représente [DE) pour l'angle $\widehat{\text{ADB}}$ ?
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{DAB}}$.

Donner en degrés et minutes la mesure de cet angle

$(\sin 36\degres = \np{0,5878}\, ;\, \sin 37\degres = \np{0,6018})$.
\end{enumerate}
\end{document}