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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Asie du Sud-Est Océan Indien~\decofourright\\juin 2001}}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip 

On considère la fraction $\dfrac{\np{5148}}{\np{1386}}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par la méthode de votre choix, le PGCD des nombres \np{5148} et \np{1386}. 
\item Utiliser le résultat de la question précédente pour rendre irréductible la fraction $\dfrac{\np{5148}}{\np{1386}}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $T$ suivante : 

\[T = (2x - 1)^2 - (2x - 1) (x + 5).\] 

\begin{enumerate}
\item En développant et en réduisant, prouver que l'expression $T$ peut s'écrire : 

$T = 2x^2 -  13x + 6$. 
\item En utilisant l'expression obtenue à la question 1., calculer $T$ pour $x = \dfrac{1}{3}$ et pour $x = \sqrt{2} + 1$. 

On donnera les résultats sous la forme la plus simple possible. 
\item Factoriser l'expression $T$, puis déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $T$ est égale à $0$. 

\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'inconnue $(x~;~y)$ suivant : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y &=& 432\\
2x + 3y &=& 398 
\end{array}\right.\]

\item  Un torréfacteur met en vente deux sortes de mélange de café. Le mélange A est composé de 60\,\% d'Arabica et de 40\,\% de Robusta et coûte 86,40~F le kilogramme. Le mélange B est composé de 40\,\% d'Arabica et de 60\,\% de Robusta et coûte 79,60~F le kilogramme. On appellera $x$ le prix du kilogramme d'Arabica, $y$ le prix du kilogramme de Robusta. 

Quel est le prix du kilogramme d'Arabica et du kilogramme de Robusta ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

Construire un cercle de centre O et de diamètre [AB], avec AB = 6~cm. 

Placer sur ce cercle un point C tel que : BC = 3,6~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ACB ? Justifier. 

Démontrer que la longueur AC est égale à 4,8~cm. 
\item Déterminer par le calcul la mesure de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$. En déduire la 
mesure de l'angle $\widehat{\text{COB}}$. (On arrondira les deux mesures à l'unité.) 
\item Soit E le milieu du segment [OB]. Tracer la parallèle à (BC) passant par E ; elle coupe le segment [AC] en F. Calculer les longueurs exactes des segments [AF] et [FE]. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip 

Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. L'unité est le centimètre.

 On considère les points suivants : A(2~;~3), B(6~;~1) et C$(- 1~;~- 3)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure et placer les points. 
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC]. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$. 
		\item Construire le point D, image du point B par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. Calculer les coordonnées de D. 
	\end{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes des longueurs AD et BC. 

Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifier. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

On considère une pyramide régulière SABCD, à ba	se carrée.

On note [SH] sa hauteur et on donne : AB = 6 cm et SH = 8 cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,8)
\pspolygon(0.5,0.5)(5,0.8)(6.4,3)(3.05,7.5)%ABCSA
\psline(3.05,7.5)(5,0.8)%SB
\psline[linestyle=dotted](6.4,3)(1.9,2.7)(0.5,0.5)(6.4,3)%CDAC
\psline[linestyle=dotted](5,0.8)(1.9,2.7)%BD
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(3.3,3.7)(5,0.8)%AOB
\psline[linestyle=dotted](6.4,3)(3.3,3.7)(1.9,2.7)%COD
\psline[linestyle=dotted](3.05,7.5)(1.9,2.7)%SD
\psline[linestyle=dotted](3.05,7.5)(3.4,1.8)%SOH
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5,0.8){B} \uput[r](6.4,3){C} 
\uput[l](1.9,2.7){D} \uput[d](3.4,1.8){H} \uput[ur](3.3,3.7){O} 
\uput[u](3.05,7.5){S} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que AH $ = 3\sqrt{2}$ et calculer AS.
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item Soit O le point de [SH] tel que : SO = 6~cm. On crée ainsi une deuxième pyramide régulière OABCD, à base carrée.

Calculer le volume de la partie comprise entre les deux pyramides SABCD et OABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Dans cette partie, la longueur OH sera notée $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Entre quelles valeurs peut-on faire varier $x$ ?
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume de la pyramide OABCD.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume $V$de la partie comprise entre les deux pyramides SABCD et OABCD.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction affine suivante :

\[ f\::\: x \longmapsto  96 - 12x\] 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0), f(8)$ et $f(1,5)$. 
		\item Quel est le nombre qui a 66 pour image par $f$ ? 
		\item Tracer la représentation graphique $(d)$ de la fonction affine $f$ (On choisira pour unité 1~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~cm$^3$ sur l'axe des ordonnées.) 
		\item Par lecture graphique, donner la valeur de $x$ telle que le volume $V$ soit égal à la moitié du volume de la pyramide SABCD. Expliquer. 
		
Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}