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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 1999}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Asie juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 }:

\medskip

Alain et Bernard achètent des \og deutsche mark \fg{} (DM) pour se rendre en Allemagne.

Alain les achète dans une banque à $3,50$ F l'un et paye $15$ F de frais. 

Bernard, avec une carte bancaire, les paye $3,75$ F l'un mais n'a pas de frais.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si Alain achète $50$ DM, combien doit-il payer?
Alain achète x DM; exprimer en fonction de $x$ le prix qu'il doit payer.
\item Si Bernard achète $80$ DM, combien doit-il payer?
Bernard achète x DM; exprimer en fonction de $x$ le prix qu'il doit payer.
\item Résoudre l'inéquation $3,50x + 15 < 3,75x$.

A partir de combien de DM est-il plus avantageux d'acheter ses DM à la
banque plutôt qu'avec une carte bancaire?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2} :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme $a\sqrt b$, avec $a$ et $b$ entiers, le nombre $A$  : 

\[A = \sqrt{150} - 2\sqrt{24}.\]

\item Écrire sous forme irréductible:
 
\[B = \dfrac38 + \dfrac54 \times \dfrac{7}{10}.\]

\item Résoudre l'équation: 

\[(2x + 3)(5x - 2) = 0.\]

\item Factoriser:

\[C = 16 -(x + 3)^2.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3} :

\medskip

Pour agrémenter la cour du collège, on a planté des arbustes à l'automne 1998.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pendant l'hiver, 20\,\% des arbustes qui avaient été plantés sont morts. Au printemps 1999, il reste 76 arbustes.

Combien en avait-on planté à l'automne 1998 ?
\item On a mesuré la taille de ces 76 arbustes (voir le tableau).

Recopier et compléter le tableau en indiquant les fréquences en pourcentage,
arrondies à 1\,\% près. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Taille}	&\textbf{Effectif}	&\textbf{Fréquence}\\ \hline
1,3 m 				&12					&\\ \hline
1,4 m				&32					&\\ \hline 
1,5 m				&					&\\ \hline 
1,6 m				&9					&\\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{~}&76&\multicolumn{1}{c}{~}	\\ \cline{2-2}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1} :

\medskip

On utilisera et on complétera la figure ci-dessous, sur laquelle les triangles sont équilatéraux et superposables.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,6.5)
\psgrid
\def\trig{\pspolygon[linecolor=red](1;60)(1;180)(1;300)}
\def\trid{\pspolygon(1;0)(1;120)(1;240)}
\multirput{0}(0,1)(1.48,0.83){8}{\trid}
\multirput{0}(0.5,1.88)(1.48,0.83){8}{\trig}
\multirput{0}(0,2.732)(1.48,0.83){8}{\trid}
\multirput{0}(0.5,3.612)(1.48,0.83){8}{\trig}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point G tel que $\vect{\text{FG}} = \vect{\text{DC}} + \vect{\text{DA}}$.
\item Tracer l'image du trapèze ABCD par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.
\item 3. Tracer l'image du trapèze ABCD par la rotation de centre E, d'angle $120\degres$ et
dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2} :

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}Dans le pavé droit ABCDEFGH, on considère la pyramide BEFG.

On donne AB = 4 cm, AE = 5 cm et EH =6 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BEF}}$
à un degré près.
\item Calculer le volume de la pyramide BEFG.
\item On réalise une pyramide P qui est un agrandissement de BEFG à l'échelle 3.

Déduire de la question 2. le volume de P.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,4)
\psframe(0,0.2)(3.6,2.8)%EHDA
\psline(3.6,0.2)(4.9,0.9)(4.9,3.8)(3.6,2.8)%HGCD
\psline(4.9,3.8)(1.3,3.8)(0,2.8)%CBA
\pspolygon(0,0.2)(4.9,0.9)(1.3,3.8)%EGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,0.2)(1.3,0.9)(1.3,3.8)%EFB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](1.3,0.9)(4.9,0.9)%FG
\uput[ul](0,2.8){A} \uput[u](1.3,3.8){B} \uput[u](4.9,3.8){C} \uput[u](3.6,2.8){D}
\uput[d](0,0.2){E} \uput[ur](1.3,0.9){F} \uput[r](4.9,0.9){G} \uput[d](3.6,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 3} :

\medskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre AD $= 8$ cm, B un point de $\mathcal{C}$ tel que AB $= 6$ cm et E le point de [ADJ tel que ED $= 3$ cm. La parallèle à (BE) passant par D coupe (AB) en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Quelle est la nature du triangle ABD ? 
\item Calculer la valeur exacte de AF.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

Un collège s'adresse à une compagnie de cars pour faire un voyage scolaire. La compagnie propose deux formules :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{Formule A :} $10$ F par élève transporté et $4,50$ F par kilomètre (km) parcouru.\item[$\bullet~~$] \textbf{Formule B :} $600$ F de forfait et $4$ F par km parcouru.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A - Il y a 35 élèves qui voyagent}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le prix du transport pour un parcours de 220 km avec chacune des deux formules.
		\item Le collège donne une somme de $430$ F. Le reste de la facture est partagé entre les élèves.
Combien chaque élève doit-il payer ? (On suppose qu'on choisit la formule la moins coûteuse!) 
	\end{enumerate}
\item Déterminer les prix $p_1(x)$ et $p_2(x)$ du transport en fonction du nombre $x$ de km parcourus dans chacune des deux formules.
\item Représenter graphiquement les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations respectives : 

\[y = 4,5x + 350 \quad \text{et} \quad y = 4x + 600.\]

(On choisira : 1 cm pour $40$ unités sur l'axe des abscisses
1 cm pour $100$ unités sur l'axe des ordonnées.)

En utilisant le graphique obtenu, indiquer, suivant le nombre de km parcourus, la formule la plus intéressante.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Le voyage fait 420 km}

\medskip

À partir de combien d'élèves la deuxième formule devient-elle la plus intéressante ?
\end{document}





Dans cette partie, l'unité de longueur est le centimètre et
l'unité d'aire est le centimètre carré.

\par Un rectangle $ABCD$ est tel que $AB=5$ et $AD=4$. $E$ est le
point du segment $[AB]$ tel que $AE=1$. $M$ est un point du segment
$[BC]$ et on pose $BM=x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire ${\cal A}_1$ du triangle $AED$.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire ${\cal A}_2$ du triangle
$EBM$; puis la longueur $MC$; puis l'aire ${\cal A}_3$ du triangle
$DMC$.
\item Montrer que la somme des trois aires ${\cal A}_1$, ${\cal A}_2$,
${\cal A}_3$ est $12-0,5x$.
\par En déduire que l'aire de la partie grisée est $8+0,5x$.
\item\label{asie1999q2c} Calculer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de la partie
grisée est égale à la somme des trois aires ${\cal A}_1$, ${\cal
A}_2$, ${\cal A}_3$.
\par Quelle est alors la position du point $M$ ?
\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal.\par{\em On
choisira 1~cm pour représenter une unité sur chacun des deux axes.}
\begin{enumerate}
\item Tracer, dans ce repère, la droite $(d_1)$ d'équation $y=8+0,5x$
et la droite $(d_2)$ d'équation $y=12-0,5x$.
\item Lire sur le graphique les coordonnées du point $I$, commun aux
droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
\par Que représentent l'abscisse et l'ordonnée du point $I$, en
relation avec la question \ref{asie1999q2c}2. ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%

%@metapost:asie1999.mp
%@Titre: Asie -- 1999
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On
a AB $= 4,8$~cm, AC $= 3,6$~cm, CE $= 2,4$~cm, CF $= 4$~cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BC.
\item Démontrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$, en donner
l'arrondi au degré près.
\end{enumerate}


