\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet Asie du Sud-Est},
pdftitle = {juin 2001},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Asie}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Asie 
  juin 2001~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $E = (x + 2)^2 + (2x - 3)(x + 2)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer la valeur de $E$ lorsque $x=-1$.
\item Déterminer les solutions de l'équation $(x+2)(3x-1)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction la
    plus simple possible :

\[A = \frac{222}{667}+\frac23.\]

\item Donner l'écriture scientifique de $B=(-2)^4\times5^3$, puis
  celle de $C=B+1$.
\item Soit
  $D=1 - \left(\sqrt{\np{2001}} + \sqrt{\np{2000}}\right)\times\left(\sqrt{\np{2001}}-\sqrt{\np{2000}}\right)$.
  
Vérifier que $D$ est égal à 0.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
\begin{enumerate}
  \item \np{2000} et \np{2001} sont-ils, chacun, divisible par 2, par 3 ou
    par 5 ? Justifier.
  \item \np{2000} et \np{2001} sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5,5.5)
\psline(0.2,1)(3.3,0.2)(4.9,2)%DCB
\psline[linestyle=dashed](4.9,2)(1.8,2.8)(0.2,1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](1.8,2.8)(1.8,5.2)%AS
\psline(1.8,5.2)(4.9,2)(3.3,0.2)(1.8,5.2)(0.2,1)%SBCSD
\psline(1.8,3)(1.6,2.82)(1.6,2.62)
\psline(1.8,3)(2,2.9)(2,2.7)
\uput[u](1.8,5.2){S} \uput[dr](1.8,2.8){A} \uput[r](4.9,2){B} \uput[dr](3.3,0.2){C} \uput[dl](0.2,1){D} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{La pyramide non régulière,
  représentée ci-contre, a pour base un carré et sa hauteur $SA$ est
  égale à $AB$.\par Si l'on dispose correctement trois pyramides
  identiques à celle-ci, on peut reconstituer un cube dont l'arête est
  la hauteur de la pyramide.}
  
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un menuisier dispose d'une pièce de bois de forme cubique,
d'arête 8~cm et dessine une vue en perspective du travail qu'il veut
réaliser pour obtenir une des trois pyramides, ici la pyramide
$SABCD$.

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(5.7,6.8)
\psline(0.2,1.2)(3.4,0.2)(5,2.4)(5,5.7)(3.4,3.5)(3.4,0.2)%DCBB'C'C
\psline(5,5.7)(1.8,6.7)(0.2,4.5)(0.2,1.2)%B'SD'D
\psline(0.2,4.5)(3.4,3.5)(3.4,0.2)%D'C'C
\uput[dl](0.2,1.2){D}  \uput[dr](3.4,0.2){C} \uput[r](5,2.4){B} \uput[ur](5,5.7){B'} 
\uput[u](1.8,6.7){S} \uput[ul](0.2,4.5){D'} \uput[u](3.4,3.5){C'} \uput[ul](1.8,3.4){A}
\pspolygon[linestyle=dashed](1.8,6.7)(1.8,3.4)(0.2,1.2)%SAD
\psline[linestyle=dashed](5,2.4)(1.8,6.7)(3.4,0.2)%BSC
\psline[linestyle=dashed](1.8,3.4)(5,2.4)%AB 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
    \item Calculer les longueurs AC, puis SC.
    \item Démontrer que le triangle SBC est rectangle en B.
    \item Dessiner en vraie grandeur les faces $SAB$ et SBC de la
      pyramide. (On pourra les juxtaposer.)
    \item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
  \end{enumerate}}
  
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
  
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(7,5.8)
\psline(0,0.5)(7,0.5)
\psline(0,2.1)(7,2.1)
\psline(0,0)(5.9,5.8)
\psline(3.3,0)(4.2,5.8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](5.1,5)(4.06,5)
\uput[ul](2.1,2.1){A} \uput[ur](3.6,2.1){B} \uput[dr](0.5,0.5){C} \uput[dr](3.4,0.5){D} 
\uput[dr](5.1,5){E} \uput[dl](4.06,5){F} \uput[r](3.9,3.9){O} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{Pour tout l'exercice, l'unité de  longueur est le centimètre.
  
Les points $E$, $O$, $A$, $C$ d'une
part et $F$, $O$, $B$, $D$ d'autre part sont alignés dans cet
ordre.\par De plus, les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.\par On donne OA = 2,4 ; OC = 6 ; OD = 5; AB = 1,5;
OE = 1,8 ; OF = 1,5.
  
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Calculer OB et CD.
\item Démontrer que les droites (EF) et (CD) sont parallèles.
\end{enumerate}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Soit $(O~;~I,~J)$ un repère orthonormal du plan. (Unité le cm.)

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Placer les points $A(-1~;~2)$; $B(3~;~4)$; $C(2~;~-4)$.
  \item Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$.
  \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
  \item Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.
  \item Construire le point $N$, image de $M$ dans la translation de
    vecteur $\vect{BC}$.
  \item Calculer les coordonnées de $N$.
  \item Démontrer que $(MN)$ coupe $[AC]$ en son milieu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On donne la fonction affine $f$ définie par $x\mapsto0,5x+2,5$ et la
fonction $g$ définie $x\mapsto-2x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comment s'appelle une fonction telle que $g$ ?
\item Calculer les coordonnées de points nécessaires pour tracer les
    représentations graphiques de $f$ et $g$.
\item Tracer ces représentations graphiques dans le même repère que
    pour la partie {\bf A}. On note $(d_1)$ la représentation
    graphique de $f$ et $(d_2)$ la représentation graphique de $g$.
\item Résoudre le système $\left\{
\begin{array}{r c l}
- 0,5x + y	&=	&2,5\\
2x + y	&=	&0\\
\end{array}\right.$.

Quelle observation faite sur le graphique confirme-t-on ainsi ?
\end{enumerate}
\end{document}