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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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%pdftitle = {Asie (secours)  juin 2021},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 2021}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Asie (secours)}
\lfoot{\small juin 2021}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Asie (secours) juin 2021 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 18 points}

\medskip

Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse.

\textbf{On rappelle que la réponse doit être justifiée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : $364$ admet comme décomposition en produit de facteurs premiers : $4 \times 7 \times 13$.
\item \textbf{Affirmation 2} : le nombre $-3$ est une solution de l’équation 
$x^2 + 2 = 11$.
\item \textbf{Affirmation 3} : pour tout nombre $x$, les expressions $(x + 3)^2 - 4$ et $(x + 1)(x + 3)$ sont égales.
\item \textbf{Affirmation 4} : les deux solides suivants ont le même volume :
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|p{4cm}|X}\cline{1-2}
Demi-boule de rayon $3$~cm

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.7,-1.7)(1.7,0.5)
\psellipse(0,0)(1.7,0.35)
\psarc(0,0){1.7}{180}{360}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.7,0)
\uput[d](0.85,0){3~cm}
\end{pspicture}
&
Cylindre de diamètre 3~cm
et de hauteur 8~cm.

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1.7,-3.6)(1.7,0.6)
\psellipse(0,0)(1.7,0.35)
\psline(-1.7,0)(-1.7,-3.3)\psline(1.7,0)(1.7,-3.3)
\psline(-1.7,0)(1.7,0)
\psellipticarc(0,-3.3)(1.7,0.35){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-3.3)(1.7,0.35){0}{180}
\uput[u](0,0){3 cm}\uput[r](1.7,-1.65){8 cm}
\end{pspicture}
&On rappelle les formules suivantes :

Volume d’une boule :

$V= \dfrac43 \times \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} \times \text{rayon}$

Volume d’un cylindre :

$V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$

Aire d’un disque :

$A = \pi \times  \text{rayon} \times \text{rayon}$\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 22 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Sur la figure ci-contre :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le triangle DCB est rectangle en C ;
\item[$\bullet~~$]les points A, C et B sont alignés ;
\item[$\bullet~~$]les points D, E et B sont alignés ;
\item[$\bullet~~$]AC = 3,2 cm;
\item[$\bullet~~$]CB = 6,8 cm ;
\item[$\bullet~~$]BD = 8,5 cm;
\item[$\bullet~~$]BE = 5,8 cm.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.4,7)
\uput[u](3.7,6){La figure n'est pas à l'échelle}
\pspolygon(0.3,1.4)(7,0.4)(2.7,5.4)%ABD
\psline(2.7,5.4)(2.1,1.1)%DC
\psline(1.6,0.2)(4.6,5.3)%CE
\rput{-13}(2.1,1.17){\psframe(0.25,0.25)}
\uput[l](0.3,1.4){A} \uput[dr](7,0.4){B} \uput[dr](2.2,1){C} \uput[u](2.7,5.4){D} \uput[u](3.9,4){E}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la longueur DC est égale à $5,1$ cm.
\item Calculer l’aire du triangle DCB en cm$^2$.
\item À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{\text{ADC}}$, au degré près.
\item Les droites (AD) et (CE) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 16 points}

\medskip

On travaille avec le logiciel Scratch dont voici plusieurs copies d’écran :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}X|>{\footnotesize}m{5cm}|}\hline
Script principal :&Bloc du motif A :\\
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blocklook{Initialisation}
\blockvariable{mettre \selectmenu{1er nombre} à \ovalbox{nombre aléatoire} entre \ovalnum{1} et \ovalnum{10}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{2e nombre} à \ovalbox{nombre aléatoire} entre \ovalnum{1} et \ovalnum{10}}
\blockifelse{si \booloperator{\ovalmove{1er nombre} < \ovalmove{2e nombre}} alors}
{\blocklook{Motif A}}
{\blocklook{Motif B}}
\end{scratch}
&\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif A}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d’écriture}
\blockmove{s’orienter à  \ovalnum{90}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{30}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{30}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le bloc \begin{scratch}\blocklook{Motif B} \end{scratch} permet de tracer un triangle.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Informations}}\\
\setscratch{scale=0.7}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Le bloc \begin{scratch}\blocklook{Initialisation}\end{scratch} efface l’écran et prépare le lutin.
\item[$\bullet~~$]L’instruction \begin{scratch}\blockmove{s’orienter à  \ovalnum{90}}\end{scratch}
signifie que le lutin se dirige horizontalement vers la droite.
\item[$\bullet~~$]L’instruction \begin{scratch}\blockvariable{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{10}}\end{scratch} permet de choisir au hasard un nombre
entier dans la liste suivante : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10.
\item[$\bullet~~$]\og 1er nombre \fg{} et \og 2e nombre \fg{} sont deux variables qui s’affichent à l’écran.

À l’écran, l’affichage \begin{scratch}\blockvariable{1er nombre \ovalnum{4}}\end{scratch} indique que la variable \og 1er nombre \fg prend la valeur 4.
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tracer à main levée une allure du motif A défini par le bloc \og Motif A \fg.
\item Après avoir cliqué sur le drapeau vert, l’écran affiche :

\setscratch{scale=0.7}\begin{scratch}\blockvariable{1er nombre \ovalnum{7}}\end{scratch}

\begin{scratch}\blockvariable{2e nombre \ovalnum{3}}\end{scratch}


Quel motif est alors affiché à l’écran : le \og Motif A \fg{} ou le \og Motif B \fg{} ?
\item On relance le programme.

Si la variable \og 1er nombre \fg{} prend la valeur 3, calculer la probabilité pour que l’écran affiche le \og Motif A \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}

\medskip

Une station de ski compte $30$ pistes. Ces pistes de ski sont soit vertes, soit bleues, soit rouges, soit noires. La couleur de la piste définit son niveau de difficulté pour skier.

\smallskip

Chaque piste de ski peut être soit ouverte, soit fermée.

\smallskip

Sur le site internet de la station de ski, on a pu trouver les informations suivantes :

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{4cm} m{2.7cm}|m{4cm} m{2.7cm}|}\hline
\multicolumn{4}{|m{13.4cm}|}{\textbf{Lundi 17 février 2020}}\\ \hline
\multicolumn{2}{|m{6.7cm}|}{\textbf{Pistes vertes}}&\multicolumn{2}{|m{6.7cm}|}{\textbf{Pistes bleues}}\\
Les 7 pistes vertes sont toutes ouvertes.&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1.3}
\psline(1.3;90)
\end{pspicture}&Nombre de pistes bleues : 8&\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\psline(1.3;90)
\pscircle(0,0){1.3}
\pswedge[fillstyle=solid,fillstyle=hlines](0,0){1.3}{90}{180}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1.3}{-180}{90}
\psframe(0,0)(-0.2,0.2)
\end{pspicture}\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Pistes rouges}}&\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Pistes noires}}\\
Parmi les 10 pistes rouges, 8 pistes rouges sont ouvertes.&\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1.3}{162}{90}
\pswedge[fillstyle=hlines](0,0){1.3}{90}{162}
\end{pspicture}&Parmi les 5 pistes noires, 3 pistes noires sont ouvertes.&
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1.3}{-126}{90}
\pswedge[fillstyle=hlines](0,0){1.3}{90}{234}
\end{pspicture}\\ \hline
\multicolumn{4}{|l|}{\emph{Information} : \psframe[fillstyle=hlines](1.2,0.5) \qquad\qquad Pistes fermées \qquad\qquad\qquad  \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.2,0.5) \qquad\qquad Pistes ouvertes}\rule[-3mm]{0mm}{12mm}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de pistes rouges fermées le lundi 17 février 2020.
\item Justifier qu’il y a six pistes bleues ouvertes le lundi 17 février 2020.
\item Parmi les pistes noires, quel est le pourcentage de pistes noires ouvertes le lundi 17 février 2020 ?
\item Le mercredi 19 février 2020, la nouvelle répartition affichée sur le site internet est la suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Pistes vertes}&\textbf{Pistes bleues}&\textbf{Pistes rouges}&\textbf{Pistes noires}\\ 
Nombre de pistes : 7&Nombre de pistes : 8&Nombre de pistes : 10&Nombre de pistes : 5\\
Nombre de pistes ouvertes : 5&Nombre de pistes ouvertes : 4&Nombre de pistes ouvertes : 3&Nombre de pistes ouvertes : 1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Sur le site de la station on peut lire :

\og Votre forfait du jour est remboursé si plus de 50\,\% des pistes de la station sont fermées. \fg

Une cliente demande le remboursement de son forfait du jour du mercredi 19 février 2020.

La station de ski doit-elle effectuer ce remboursement ?
\item On a mesuré les hauteurs maximales de neige dans la station, exprimées en centimètre, pour chaque mois, de novembre 2018 à mars 2019.

On saisit ces mesures dans une feuille de calcul dont voici une copie d’écran :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A				&B			&C		&D		&E		&F		&G\\ \hline
1	&				&Nov.	&Déc.&Janvier&Février&Mars	&\small Moyenne\\ \hline
2	&Saison 2018-2019&90		&120	&130	&120	&75		&107\\ \hline
3	&Saison 2019-2020&105		&130	&115	&140	&60		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a pu être saisie dans la cellule G2 avant d’être étirée jusqu’à la cellule G3 ?
		\item La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est-elle supérieure à celle de la saison 2018-2019 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 24 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = - \dfrac{3}{19}x + 3$ pour tout nombre $x$ compris entre 0 et 19.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l’image de 6 par la fonction $f$.
\item Déterminer l’antécédent de $0$ par la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

Un joueur de tennis effectue un service.

Voici une figure, qui n’est pas à l’échelle, représentant la trajectoire de la balle lors de ce service.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle EDC est rectangle en E.

Les droites (AE) et (BD) se coupent au point C.

AB $= 3$ m ; AC $= 19$ m ; AE $= 12$ m

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14.5,3)
\pscircle(0.3,2){0.15}
\psline(0.3,1.85)(0.3,1)(0.5,0.3)
\psline(0.3,1)(0.2,0.3)
\psline(0.3,1.4)(0.6,1.6)(0.5,1.8)
\psline(0.3,1.4)(0,1.7)(0.2,2)
\pspolygon[linewidth=1.25pt](0.5,0.3)(13.8,0.3)(0.5,2.5)%ACB
\psline[linewidth=1.25pt](8.9,0.3)(8.9,1.13)%ED
\psframe(0.5,0.3)(0.75,0.55)\psframe(8.9,0.3)(9.15,0.55)
\psline[linewidth=1.25pt](0.2,2)(0.4,2.35)
\rput{60}(0.5,2.5){\psellipse(0,0)(0.25,0.1)}
\uput[d](0.5,0.3){A} \uput[ul](0.5,2.5){B} \uput[d](13.8,0.3){C} \uput[ur](8.9,1.13){D} \uput[d](8.9,0.3){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

Le joueur est positionné au point A.

On considère que la balle lancée en B effectue un trajet en ligne droite, qu’elle passe au-dessus du filet en D et qu’elle touche le terrain adverse en C.

La longueur DE représente la hauteur de la balle lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.

Voici une représentation graphique de la fonction $f$ qui modélise la trajectoire de la balle lors de ce service. On rappelle que $f(x) = - \dfrac{3}{19}x + 3$, pour tout nombre $x$ compris entre 0 et 19.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(20,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(20,5)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,3)(19,0)
\uput[ur](0,0){A}\uput[ur](19,0){C}\uput[ur](0,3){B}
\uput[d](19.5,0){$x$} \uput[l](0,4.75){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

Tout point de cette représentation graphique a pour abscisse $x$ et pour ordonnée $f(x)$ où $x$ 

est un nombre compris entre $0$ et $19$.

Dans le repère, le point A a pour coordonnées (0~;~0), le point B a pour coordonnées (0~;~3) et 

le point C a pour coordonnées $(19~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item On considère le point d’abscisse 6 de la représentation graphique de la fonction $f$. Déterminer l’ordonnée de ce point.
\item On admet que la distance BC parcourue par la balle lors de ce service est d’environ $19,2$ m. Lors de ce service, la balle a mis $0,34$ seconde pour parcourir la distance BC.

Un commentateur affirme que la vitesse moyenne de la balle lors de ce service est de $208$ km/h. Cette affirmation est-elle vraie ?
\item Déterminer la hauteur de la balle, exprimée en mètre, lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
\end{enumerate}
\end{document}