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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Athènes}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Athènes juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les applications polynômes définies par
\[\begin{array}{l l c l}
f :	&\R	&\to		&\R\\
	&x	&\longmapsto&(5x +3)^2 - (2x - 5)^2\:;\\
g :	&\R	&\to		&\R\\
	&x	&\longmapsto	&49x^2 - 4 - (7x - 2)(8x - 2).\\
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$ les deux polynômes $f(x)$ et $g(x)$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ vers $\R$, définie par

\[h(x) = \dfrac{(7x -2)(3x +8)}{(7x-2)(-x + 4)}.\]

Donner l'ensemble de définition $E$ de cette fonction.

Simplifier $h(x)$ en précisant pour quelles valeurs de $x$ la fraction simplifiée est la même que $h(x)$.
\item Le plan étant rapporté à un repère \Oij, construire les représentations graphiques $D_1$ et $D_2$ des applications affines $f_1$ et $f_2$ telles que

\begin{center}$f_1(x) = 3x + 8$ \quad et \quad $f_2(x) = -x + 4$.\end{center}

\item Calculer les coordonnées du point A intersection de $D_1$ et $D_2$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B, C définis par

\begin{center} $\vect{\text{OA}} = 2\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$\quad  $\vect{\text{OB}} = -\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$ \quad et \quad $\vect{\text{OC}} = 4\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes ou coordonnées de $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}},\: \vect{\text{BC}}$.

En déduire $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Soit D le point de coordonnées (5~;~4).

Démontrer A est le milieu de (B, D).

Que représente la droite (AC) pour le segment [BD] ?
\item Calculer les coordonnées de E milieu de (C, D).

Soit G le point du plan tel que $2\vect{\text{GA}} + \vect{\text{GC}} = \vect{0}$.

Calculer les coordonnées de G.
\item Démontrer que B, G et E sont alignés.
\item Soit L le point de coordonnées $\left(\dfrac{11}{4}1~;~\dfrac34 \right)$.

Montrer que B D et C appartiennent à un même cercle de centre L.
\end{enumerate}
\end{document}