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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Barcelone \:juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'équation 
\[3x- 5y- 8 = 0\]
et un système d'axes rectangulaires.

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $y$ en fonction de $x$ et construire la droite $D_1$ représentative de cette fonction.
\item Former l'équation de la droite $D_2$ parallèle à $D_1$ et passant par O origine du repère.
\item Former l'équation de la droite $D_3$ perpendiculaire à $D_1$ et passant par O.

Construire les trois droite $D_1, D_2, D_3$, sur un même graphique.

Calculer les coordonnées du point H commun à $D_1$ et $D_2$ et la distance
OH (à 1~mm près).
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} On rappelle que deux droites ayant pour équations $y = ax$ et $y = a'x$ sont perpendiculaires si $aa' = - 1$.

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Sur la figure ci-contre on a effectué  les constructions suivantes:

On mène par le point extérieur au cercle (C), de centre O, de rayon $R$, une tangente [AT].

Une droite parallèle à (OA) coupe (C) en deux points, M et M$'$, et rencontre [AT] au point P.

On mène enfin [AN] perpendiculaire à [OM].

Démontrer que :
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.47\linewidth}
\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-1)(3.6,1)
%\psgrid
\pscircle(2.5,0){0.8}
%\pscircle(1.25,0){1.25}
\pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.22,0.76)
\psline(0,0.3)(3.5,0.3)
\psline(2.5,0)(0.28,0.85)%(0,0.96)
\psline(0.28,0.85)(0,0)
\uput[d](0,0){\footnotesize  A} \uput[ul](0.28,0.85){\footnotesize N} \uput[dr](0.8,0.3){\footnotesize P} \uput[ur](1.78,0.3){\footnotesize M} \uput[ul](2.22,0.78){\footnotesize T} \uput[d](2.5,0){\footnotesize O} \uput[ur](3.23,0.3){\footnotesize M$'$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item le quadrilatère AOTN  est inscriptible;
\item le quadrilatère PMTN est inscriptible ; en déduire que [PM] est vu de N et de T sous des angles égaux ;
\item les angles des triangles TMO et NPA sont respectivement égaux.

En déduire que ANP est un triangle isocèle.
\end{enumerate}
\end{document}