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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Barcelone juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère les polynômes

\[\begin{array}{l c l}
P_1& =& 2(x - 5) + x^2 - 25,\\
P_2 &=& 5x^2 - 25x \:;
\end{array}\]
soit $S$ leur somme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs chacun des polynômes $P_1,\: P_2$ et $S$.
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle $P_1 = - 4P_2$.
\item Calculer l'expression

\[A = \dfrac{S}{P_1} - \dfrac{P_1}{S}.\]

\item Calculer la valeur numérique de $A$ pour $x = \sqrt 7$.

(On donnera un résultat rationnel.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC équilatéral de côté $a$ et une longueur $\ell \:(\ell < a$); O désignera le centre du cercle circonscrit à ABC.

Sur les côtés [AC] et [BA] de A vers C et de B vers A, on porte respectivement les longueurs AP = BM $= \ell$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que les triangles OBM et AQP sont égaux; en déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{MOP}}$.
\item Démontrer que les triangles AOB et POM sont semblables.

Montrer que le quadrilatère APOM est inscriptible.
\item On suppose maintenant que AP = BM $= \dfrac a3$.

Montrer que le triangle APM est rectangle; en déduire que le triangle AOM est rectangle.

Calculer les longueurs MP{}, OA et OM, connaissant $a$.
\end{enumerate}
\end{document}