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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Barcelone juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les expressions
 
\begin{center}$A(x) = \dfrac{(2x - 3)\left(16x^2 - 4\right)}{(4x + 2)\left(4x^2 - 9\right)}$\quad  et $B(x)  = \dfrac{\left(6x- 8x^2\right)(2x+3)}{2\left(4x^3 + 12x^2 + 9x\right)}$\end{center}

\item Montrer que $\dfrac{1}{A(x) + B(x)} = 2x + 3$.
\item Représenter graphiquement la droite $(D)$ d'équation $y = 2x + 3$, en expliquant la construction.
\item On lui associe, dans le même système d'axes, la droite $\left(D'\right)$ passant par les points de coordonnées (1~;~1) et $(4~;~- 1)$.

Déterminer l'équation de $\left(D'\right)$ et les coordonnées de son point de rencontre avec $(D)$.
\item Calculer, à $0,01$ près, les longueurs des  trois côtés du triangle délimité par les droites $(D), \:\left(D'\right)$ et l'axe $x'x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $=2R$, et un point P de la tangente en A à ce demi-cercle.

De P{}, l'on mène l'autre tangente, (PM), qui coupe la droite (AB) en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer les longueurs PA, PM, PO et OC, dans le cas où $\widehat{\text{APM}} = 60\degres$, en fonction du rayon $R$ du cercle (O).
\item L'angle $\widehat{\text{APM}}$ étant quelconque, on trace la droite (OM), qui coupe (AP) en un point D.

Démontrer que les droites (PO) et (CD) sont perpendiculaires et que le triangle PCD est isocèle.
\item Après avoir prouvé que les triangles PAM et PCD sont semblables, montrer que leur rapport de similitude est égal à $\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}}$.
\item Démontrer que, quelle que soit la position de P sur la tangente, si H est l'orthocentre du triangle PAM, on a toujours AH $= R$.
\end{enumerate}
\end{document}