\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Barcelone septembre 1954},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Barcelone\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les expressions
\begin{center}$A = 3(2x - 1)$\qquad  et \qquad  $B= 5\left(4x^2 - 1\right)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A + B$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré ; pour quelles valeurs de $x$ cette expression est-elle nulle ?
\item Simplifier la fraction rationnelle $y = \dfrac BA$ et représenter graphiquement les variations de $y$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère trois points alignés A,B,C dans cet ordre et un cercle $(\mathcal{C})$ quelconque ([BC] n'étant pas un diamètre) passant par B et C.

Les cercles de diamètres [AB] et [AC] recoupent $(\mathcal{C})$ en B$'$, et C$'$ respectivement. La droite (CC$'$) rencontre la perpendiculaire à (ABC) menée par A au point D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que $\widearc{\text{CBB}'} = \widearc{\text{B}\text{C}'\text{D}'}$.

Montrer que AB$'$C$'$D est un quadrilatère inscriptible.
\item Montrer que B, B$'$ et D sont trois points alignés.
\item J désignant le point commun aux droites (BC) et (B$'$C$'$), établir les relations 
\begin{center}$\overline{\text{JB}} \cdot \overline{\text{JC}} = \overline{\text{JB}'} \cdot \overline{\text{JC}'}$\qquad  et \qquad $\overline{\text{JB}} \cdot \overline{\text{JC}} = \overline{\text{JA}}^2$. \end{center}
\end{enumerate}
\end{document}