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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Barcelone\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression suivante: 
\[(3x + 1)(2x - 3) + (3x+ 1) (x + 2) - (5x + 4) (3x + 1).\]
\item Donner les solutions de l'équation
\[(3x + 1)(2x - 3) + (3x+ 1) (x + 2) = (5x + 4) (3x + 1).\]

\item Simplifier la fraction rationnelle suivante :

\[\dfrac{2\left[\left(x + \dfrac14\right)^2 - \dfrac{81}{16}\right]}{(3x + 1)(2x - 3) + (3x+ 1) (x + 2) - (5x + 4) (3x + 1)}.\]
 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux cercles $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon $R$ et $(\mathcal{C}')$ de centre O$'$ et de rayon $2R$ tangents extérieurement en un point A.

On mène une tangente commune extérieure $(\Delta)$ aux deux cercles coupant la droite des centres (OO$'$) au point I.

On appelle T et T$'$ les points de contact respectifs de $(\Delta)$ avec $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer IA en fonction de $R$.
\item Démontrer que les triangles IAT et IAT$'$ sont semblables.
\item Calculer la valeur du produit IT $\times$ IT$'$ en fonction de $R^2$.
\item Quel est le rapport des aires des triangles ITA et IT$'$A ?
\item En se servant du triangle ATT$'$ et du rapport $\left(\dfrac{\text{AT}'}{\text{AT}} \right)^2$, calculer AT et AT$'$.
\end{enumerate}
\end{document}