\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Barcelone septembre 1959},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Barcelone}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Les données fixes sont un plan (H) et, dans ce plan, trois points fixes O, A et B ; le triangle OAB est équilatéral et ses côtés mesurent $12$~centimètres.

Sur la perpendiculaire au plan (H) menée par O et à 16 centimètres de O, on choisit un point P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en centimètres les longueurs des segments PA et PB.
\item Le point M est situé sur le segment [PA] à la distance $x$ centimètres de P.

La parallèle à (AB) menée par M rencontre (PB) en N.

Les projections des points M et N sur le plan (H) sont $m$ et $n$ respectivement.

Indiquer rapidement quelle est la nature du quadrilatère MN$nm$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,3.8)
\psline[linewidth=1.75pt](0,0)(3.4,0)(4.6,1.9)
\psline(4.6,1.9)(1.2,1.9)(0,0)
\psline(1.4,0.8)(1.4,3.4)(3.1,0.5)(4,1.7)(1.4,3.4)%OPABP
\psline[linestyle=dashed](2.6,0.6)(2.6,1.5)(3.2,2.3)(3.2,1.5)%mMNn
\uput[d](1.4,0.8){O} \uput[u](1.4,3.4){P} \uput[dl](2.6,1.5){M} \uput[ur](3.2,2.3){N} 
\uput[d](3.1,0.5){A} \uput[r](4,1.7){B} \uput[d](2.6,0.6){$m$} \uput[d](3.2,1.5){$n$} 
\uput[ur](0.3,0.1){(H)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item Calculer, en fonction de $x$, la longueur des segments [MN] et [M$m$].

Peut-on choisir le point M sur [PA], de telle façon que le quadrilatère MN$nm$ soit un carré ?

Donner en centimètres la valeur correspondante de $x$.
\item On désigne par $y$ le périmètre de MN$nm$ ; calculer $y$ en fonction de $x$.

Dresser le graphique de ces variations lorsque M décrit le segment [PA] (sur le graphique, 5 millimètres représenteront 1 centimètre de la figure de l'espace).
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Les données fixes sont: un cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et un diamètre fixe [AB] de ce cercle.

Les tangentes en A et B à $(\mathcal{C})$ sont désignées par $x'$A$x$ et $y'$B$y$ ; on les oriente dans le même sens.

Une tangente à $(\mathcal{C})$, variable, touche le cercle en T et coupe les axes $x'$A$x$ et $y'$B$y$ en M et N respectivement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les bissectrices intérieures des angles $\widehat{\text{AOT}}$ et $\widehat{\text{BOT}}$ ?
\item Comparer les triangles OAM et NBO.

En déduire une expression simple du produit AM $\cdot$ BN en fonction du rayon $R$ de $(\mathcal{C})$, puis donner la valeur du produit algébrique AM $\cdot$ BN.
\item Montrer que le cercle de diamètre [MN] est tangent en O à (AB).
\item On suppose que la droite (MN) coupe la demi-droite [OA) en un point P et l'on désigne par 
$\alpha$ la mesure de l'angle
aigu $\widehat{\text{OPT}}$.

Calculer en fonction de $R$ et de $\alpha$ les longueurs des segments suivants : [PT] et [PO], puis [IO] (I est le milieu de [MN]), et enfin, compte tenu de l'expression de PO, évaluer AP et BP, puis AM et BN ; vérifier alors le résultat de la question 2.
\end{enumerate}
\end{document}