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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Barcelone septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les polynômes 
\begin{center}$16x^2 + 24x + 9$ \qquad et \qquad $16x^2 - 24x + 9$.\end{center}

Montrer que chacun d'eux est le carré d'un binôme du premier degré en x.
\item Simplifier les expressions

\begin{center}$A = \dfrac{16x^2 - 24x + 9}{16x^2 - 9}$\qquad et\qquad  $B = \dfrac{16x^2+ 24x + 9}{12x + 9}$\end{center}
\item On considère l'expression $y = A \cdot B$, que l'on mettra sous sa forme simplifiée.

Étudier les variations de la fonction $y = A \cdot B$ ($x$ étant la variable).

Représentation graphique.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $y = - 5$ ; on obtient ainsi les coordonnées d'un point M ; calculer OM$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A, dont les côtés de l'angle droit tels que  AB $= 3a$ et AC $= 2a$.

On place sur l'hypoténuse [BC] le point D, tel que : $\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}}= \dfrac35$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le rapport $\dfrac{\text{DC}}{\text{DB}}$ et construire le point E divisant le segment [CB] dans le même rapport arithmétique.
\item Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à B.

Le prolongement de (AC) coupe (A$'$E) en F.

Montrer que F est le milieu de [A$'$E] et calculer CF en fonction de $a$.
\item Calculer l'aire du quadrilatère A$'$BCF en fonction de $a$.

Donner une construction simple du carré équivalent.
\item Soit I le point de [AE] tel que $\dfrac{\text{AI}}{\text{AE}} = \dfrac14$.

Démontrer que (IF) est perpendiculaire à (AE) et calculer la longueur IF
en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}