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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Berlin}}
\rfoot{\small{juin 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Berlin juin 1957}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les deux expressions 
\[\begin{array}{l c l}
A&=&\left(4x^2 - 16\right)\left(\dfrac x2 + 3\right)(2x - 6), \: \text{et}\\
B& =& (8 - 4x)\left(9 - \dfrac{x^2}{4}\right)(3 - x).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier la fraction $R = \dfrac AB$ et déterminer $x$ pour que $R = 2$.


\item Soient le\ droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ définies par les équations 
\[\left(D_1\right) \quad 2y + x - 6 = 0,\qquad \left(D_2\right)\quad x + 2 - \dfrac y2 = 0.\]

Déterminer graphiquement les coordonnées de l'intersection, M, de ces deux droites.

Vérifier par le calcul les valeurs trouvées.
\item Déterminer les coefficients angulaires de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ; que peut-on en déduire relativement à ces deux droites ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur le prolongement du diamètre [BA] d'un cercle de centre O et de rayon $R$ on porte. une longueur AC $= R$.

De C, on mène une tangente (CT) au cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer les angles $\widehat{\text{TOC}}$ et $\widehat{\text{TCO}}$.

Que peut-on dire du triangle ATO ?
\item Calculer BT et CT en fonction de $R$.
\item De A, on élève la perpendiculaire sur (BC) ; elle coupe (CT) en M.

Montrer que le quadrilatère AMTO est inscriptible dans un cercle, dont on déterminera le centre et la longueur du diamètre en fonction de $R$.
\item Le point C cesse d'être fixé et se déplace maintenant sur le prolongement de [BA].

Trouver le lieu du point N, intersection des diagonales du quadrilatère OTMA.
\end{enumerate}
\end{document}