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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Berlin }}
\rfoot{\small{juin 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Berlin  juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression
\[E = \dfrac{x- x^2}{1 - x^2}  + \dfrac{1 + x}{ 1 + 2x + x^2} -  \dfrac{1 - 2x}{ 1 - x}.\]

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur numérique de $E$ pour les valeurs
\[x = 0,\qquad x = \dfrac12, \qquad x = - 1.\]`

		\item Simplifier $E$ et calculer à nouveau les valeurs numériques de $E$ pour les mêmes valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Construire les droites $D$ et $D'$ d'équation $y = x$ et $y = 1 - x$.

Soient A le point d'intersection de $D$ et $D'$ et B le point d'intersection de $D'$ avec l'axe $y'y$.

Calculer l'aire du triangle OAB.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un segment [AB] de longueur $a$, on prend un point C tel que AC $= \dfrac a3$ ; , puis on décrit un demi-cercle ayant [AB] pour diamètre.

En C, on mène la perpendiculaire à (AB).

Elle coupe le demi-cercle en D.

La droite (OH), perpendiculaire menée du centre O du demi-cercle à la corde [AD], coupe (CD) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le point C.
\item Connaissant $a$, calculer les longueurs CD et OH.
\item Trouver sur la figure trois triangles semblables au triangle ACD et montrer que le quadrilatère CODH est inscriptible.

Calculer le rayon du cercle circonscrit.
\item Calculer l'aire du quadrilatère CODH.
\end{enumerate}
\end{document}