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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Berlin }}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Berlin juin 1959}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[E(x) = (4x - 1) (x + 3) + \left(16x^2 - 1\right) - (4x - 1)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La développer et l'ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$ (forme 2).
\item Décomposer $E(x)$ en un produit de facteurs (forme 3).
\item Résoudre l'équation
\[(4x - 1) (x + 3) + \left(16x^2 - 1\right) - (4x - 1)^2  = 0.\]
\item Calculer la valeur numérique de $E(x)$ pour 
\[x = 0,\qquad x = - 5,\qquad  x = \dfrac14,\]
en utilisant à chaque fois la forme la plus simple.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$, de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 4$ cm.

On considère le point M situé sur la droite (AB) et tel que OM $= 4$~cm (B est entre O et M).

Par M et les extrémités D et E d'un diamètre variable du cercle $\mathcal{C}$, on fait passer un cercle $\mathcal{C}'$. Ce cercle coupe (OM) en un second point, J.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles OJD et OEM sont semblables.

Donner la valeur du rapport de similitude.
\item Montrer que le produit OJ $\cdot$ OM est constant quand le diamètre [DE] varie.

En déduire le lieu géométrique du centre O$'$ du cercle $\mathcal{C}'$ quand le diamètre [DE] pivote autour de O.
\item On suppose maintenant le diamètre [DE] fixe et tel que l'angle $\widehat{\text{DOM}}$ soit égal à $60\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Nature des triangles OBD et OMD.
		
En déduire que la droite (MD) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
		\item Calculer MD.
		\item Soit T le point d'intersection de la tangente en B au cercle $\mathcal{C}$ avec (MD).
		
Calculer la longueur du segment [BT].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}