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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Berlin}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Berlin octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
A&=& (x + 3)^2 + 3x + 9,\\
B&=& (2x + 4)^2- (x + 1)^2.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réduire et ordonner $A$ et $B$.
\item Les mettre sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Résoudre les équation $A = - B$ et $\dfrac AB = 1.$
\item Résoudre les équations $B = 3A$ et $\dfrac BA = 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On marque sur un axe $x'$O$x$ les points A, B, I, J d'abscisses respectives 2, 8, 4, $- 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item M désignant un point quelconque du cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [IJ], montrer que les triangles OAM et OBM sont semblables,
\item En déduire que MA est la moitié de MB.

Que représentent les droites (MI) et (MJ) pour l'angle $\widehat{\text{AMB}}$ ?
\item Comparer les produits BO $\cdot$ BA et BI $\cdot$ BJ.

La droite (BM) recoupe le cercle en N.

Montrer que le points M, N, O, A sont sur un cercle.
\item On suppose maintenant que (BM) est tangent à $(\mathcal{C})$.

Calculer les côtés [MB] et [MA] ainsi que l'angle $\widehat{\text{MAB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}