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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Berlin}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Berlin septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $D_1$ et $D_2$ qui représentent les variations des fonctions
\begin{center}$y = 3x - 3$\qquad et\qquad $y = 3x + 1$.\end{center}
(prendre une échelle assez grande).

Calculer les coordonnées de leur point commun.
\item Soit A le point de $D_1$ d'abscisse 2 et soit B le point de $D_2$ d'abscisse $- 3$. 

Trouver l'équation de la droite (AB).
\item Par O, origine des axes de coordonnées, on mène la parallèle $D_3$ à la droite (AB).

Quelle est l'équation de $D_3$ ?

$D_3$ coupe $D_1$ en C et $D_2$ en E.

Calculer les coordonnées du point F milieu de [CE].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit [BC] un diamètre fixe d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend un point M variable sur le cercle $\mathcal{C}$.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{BMC}}$ coupe (BC) en D et le cercle en E.

La bissectrice extérieure de l'angle $\widehat{\text{BMC}}$ coupe le cercle en E$'$.

Préciser la position des points E et E$'$.
\item On désigne par I le centre du cercle inscrit dans le triangle BMC.

Calculer l'angle $\widehat{\text{BIC}}$ et trouver le lieu géométrique de I.
\item La parallèle à (ME), menée par le point C, coupe le prolongement de [BM] en N.

Calculer l'angle $\widehat{\text{MNC}}$ et trouver le lieu géométrique de N.
\item On fixe le point M de telle façon que CM $= R$.

Calculer, en fonction de $R$, la longueur BM, le rapport $\dfrac{\text{DB}}{\text{DC}}$, puis les longueurs DB et DC.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N.B. -} La question 4. est indépendante des questions 2. et 3.
\end{document}