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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Berlin septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Le périmètre d'un rectangle, mesuré en centimètres, est exprimé par le nombre $2p$.

Si l'on augmente sa longueur, $x$, de 7 cm et sa largeur, $y$, de 2 cm, sa surface augmente de $224$~cm$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $p$ la longueur et la largeur de ce rectangle.
\item Entre quelles valeurs $p$ doit-il être compris pour que le problème soit possible ?
\item Pour quelle valeur de $p$ le rectangle devient-il un carré ?

Quelle est alors la valeur commune de $x$ et de $y$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On construit un quart de cercle de centre O, limité par les deux rayons [OA] et [OB] 

(OA = OB $= R$).

Soient M un point quelconque pris sur l'arc $\widearc{\text{AB}}$, H et H$'$ les projections orthogonales de M sur (OA) et (OB), T le point où (OM) coupe la tangente en A au cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles OMH et OAT ; en déduire la relation
\begin{center}(1)\quad OH $\times$ OT = R$^2$.\end{center}
\item La tangente en M coupe la droite (OA) en S.

Quelle est la relation existant entre OM, OH et OS ?

Comparer les triangles OMS et OAT et en déduire une deuxième manière de démontrer la relation (1).
\item (TA) et (MS) se coupent en I.

Quelle est la position de la demi-droite [OI) par rapport à l'angle $\widehat{\text{TOS}}$ ?

Comment doit-on choisir la longueur OT pour que le rapport $\dfrac{\text{IT}}{\text{IA}}$ soit égal à un nombre donné $k$ supérieur à 1?

Quelle est la valeur du rapport $\dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}$ dans ce cas ?
\item On mène par M la parallèle à (AB), qui coupe (OA) et (OB) en A$'$ et B$'$.

Calculer MA$'^2 +$ MB$'^2$ en fonction, respectivement, de MH$^2$ et MH$'^2$ et démontrer que MA$'^2 +$ MB$'^2$ conserve une valeur constante lorsque le point M décrit le quart de cercle donné.
\end{enumerate}
\end{document}