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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f(x) = \dfrac12(3 - 5x).\]

\smallskip

Factoriser

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(\dfrac38\right)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$ à $10^{-2}$ près par défaut.
		\item Trouver les nombres $U$ et $V$ tels que
\begin{center}$f(U) = 0$ \qquad et \qquad $f(V) = - 3,5$.\end{center}
		\item Trouver l'ensemble, $A$ des nombres $x$ tels que 
\[f(x) \leqslant - 1.\]
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement l'application $f$.
\item Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par
\[g(x) = 9 - 25x^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $g(x)- f(x)$.
		\item  Trouver l'ensemble, $B$, des nombres tels que
\[g(x) - f(x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan euclidien étant rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C déterminés par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 6\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 3\vect{\imath} + 8\vect{\jmath}$ \quad et \quad $\vect{\text{OC}} = 11\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}$\end{center}

\item Déterminer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

Calculer la mesure des segments [AB] et [AC]. 

Que peut-on dire du triangle (A, B, C) ?
\item I étant le milieu de [BC], quelle est la nature du triangle (B, I, A) ?
\item E étant le centre du cercle circonscrit au triangle (B, I, A), déterminer les composantes du vecteur $\vect{\text{OE}}$.
\item M a comme couple de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{23}{4}\right)$,
montrer que la droite (MB) est tangente au cercle précédent en B.
\end{enumerate}
\end{document}