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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Une barre de fer a une longueur de $5$~m lorsque sa température est $0$\degres C, mais sa longueur augmente lorsque la température augmente et à la température $t$, exprimée en degrés, sa longueur $\ell(t)$, exprimée en mètres, est égale à

\[\ell(t) = 5\left(1 + 12 \cdot 10^{-6} \cdot t\right).\]

\begin{enumerate}
\item Sa longueur $\ell(t)$ est de la forme $at + b$,\: $a$ et $b$
étant des réels. 

Quelles sont les valeurs de $a$ et $b$ ? 
\item Calculer la longueur $\ell(t)$ de la barre lorsque $t$ est
égal à $30$ (en degrés).
\item Sachant que la barre mesure \np{5,0054} mètres, à
quelle température est-elle ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions polynômes de variable
réelle $x$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& \left(2x - \dfrac13 \right)^2 - \dfrac19(3x+1)^2,\\
g(x) &=&(3x - 2)(x - 5) + x(6x - 4).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les images par $f$ et $g$ du réel $\dfrac23$.
\item Trouver la forme réduite et ordonnée de $f(x)$. 
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Existe-t-il d'autres réels que $\dfrac23$ ayant la même
image par $f$ et par $g$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Dans le plan euclidien $(P)$ muni d'un repère orthonormé \Oij, A, B et C sont les points de coordonnées respectives : 
\begin{center}A$\left(-4~;~- \dfrac32 \right)$\:;\qquad  B$\left(-2~;~\dfrac52 \right)$ \quad et C$\left(2~;~- \dfrac12 \right)$\end{center}

Faire un dessin que J'on complétera tout au long du problème.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le point M de coordonnées $(0~;~a)$ ($a$ désigne un réel). 

Calculer $a$ pour que le triangle (A, B, M) soit rectangle en B.
\item Que remarque-t-on pour les points B, M et C ?
\item Trouver les coordonnées $(x~;~y)$ du point N tel que (A, B, N, C) soit un parallélogramme.
\item Calculer les coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ du point K, symétrique de A par rapport au point B.
\item Prouver que le triangle (B, K, N) est rectangle en K et isocèle.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (B, C, N, K) ? 

Démontrer que les triangles (B, K, N), (B, C, N) et (A, B, C) sont isométriques.
\end{enumerate}
\end{document}