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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1982}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions affines $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par 13

\begin{center} $f(x) = - \dfrac15 x + \dfrac35$, \qquad  $g(x) = 5x + 3$\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de chacune d'elles.
		\item Construire dans un même repère leurs représentations graphiques $(D)$ et $(\Delta)$.
		\item Quelle constatation peut-on faire sur la position relative de $(D)$ et $(\Delta)$ ? 
		
Pouvait-on le prévoir ? Pourquoi?
		\item Calculer les coordonnées de I point d'intersection de $(D)$ et $(\Delta)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer

\[5\sqrt 6 - 2\sqrt{24} + 3\sqrt{96}\quad;\quad \left(2\sqrt 5 - 5\sqrt 2\right)^2\quad ;\quad \dfrac{2}{\sqrt 7} - \dfrac{1}{\sqrt 7 - 2}.\]

(le dénominateur sera rendu rationnel).

\item $A(x) = 4(3x - 1)^2 - 9x^2$.

	\begin{enumerate}
		\item Développer $A(x)$.
		\item Factoriser $A(x)$.
		\item Calculer $A(0)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $A(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, soit les points

\begin{center}A(2~;~3),\qquad B(0~;~1), \qquad C$(6~;~-1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.

Le construire.
\item Calculer les coordonnées de I milieu de (B, C).

Le placer.
\item Soit D le symétrique de A par rapport à I.

Calculer les coordonnées de D.

Le placer.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, C, D) ?

Pourquoi ?
\item Dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\imath}\right)$ on donne le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}- 1\\3\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'image E de A dans la translation de vecteur $\vect{u}$;
		\item Calculer les coordonnées du point E.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les points D, A et E sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}