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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ l'application, de $\R$ dans $\R$, définie par 
\[f(x) = (x - 5)^2- \left(\dfrac14 x +3\right)^2.\]

décimale
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer $f(x)$.
		\item Calculer $f(- 3)$, puis donner une valeur approchée par excès de $f(-3)$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\R$ l'équation :
\[ f(x) = 0. \]
	\end{enumerate}
\item Soit l'application $g$, de $\R$ dans $\R$ définie par
\[g(x) = \dfrac{9}{16}x^2  - 64.\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x) - g(x)$.
		\item Soit la fonction rationnelle $h$ définie par
\[h(x ) = \dfrac{f(x)}{f(x) - g(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition $H$ de $h$, puis simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre, dans l'ensemble $H$, l'équation
\[h(x) = \sqrt 7.\qquad  (1)\]
		\item Sachant que $2,645 < \sqrt 7 < 2,646$, trouver un encadrement de la solution de l'équation (1) d'amplitude $2 \times 10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un  repère orthonormé \Oij{} on donne les points A, B et C définis par
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath}, \qquad \vect{\text{OB}} = \vect{\imath} + \vect{\jmath}$ \quad et \quad $\vect{\text{OC}} = 3\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces points A, B et C dans le repère.
\item Calculer les distances AB, AC et BC.

Démontrer que le triangle (A, B, C) est un triangle rectangle isocèle.
\item Déterminer les coordonnées du milieu M de (A, C).

Que peut-on dire des droites (MB) et (AC) ?
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que $\vect{\text{BD}} = 2\vect{\text{BM}}$.
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Déterminer le centre et le rayon du cercle qui passe par les points A, B, C et D.

Le point E$\left(\dfrac52~;~1\right)$ appartient-il à ce cercle ?

Même question pour le point F(3~;~3).
\end{enumerate}
\end{document}