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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

et

Soit les deux polynômes

\[\begin{array}{l c l}
A&=&- 10 - \dfrac35 x - 8x^2 + 4x^3\:\text{et}\\
B &=&5x^3 - 10x^2- \dfrac{23}{5}x - 2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A - B$. Soit $C$ le polynôme obtenu, réduit et ordonné.
\item Factoriser $C$.

Calculer la valeur numérique de $C$ si

$x = 0,\:x = 2$ et $x= - \sqrt 2$,en choisissant la forme
de $C$ qui permet le calcul le plus rapide.
\item Résoudre le système d'équation
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y 	&=& x - 2,\\
2 - x - y &=& 0.
\end{array}\right.\]

\item Prendre un repère orthonormé et construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives 
\begin{center}$y = x - 2$\quad  et \quad $y = 2 - x$.\end{center}

Retrouver les coordonnées du point d'intersection, A, de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

\item Chercher l'équation de la droite ($\Delta$) qui coupe $\left(D_1\right)$  au point B d'abscisse +6 et $\left(D_2\right)$ au point C d'ordonnée $- 3$.

Quelle est la nature du triangle ABC ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Sur une demi-droite O$x$, on prend trois points, A, B et C, tels que OA $= a$, OB $= 2a$ et OC $= 3a$.

Sur la perpendiculaire en B à (OC), on construit un point D, tel que BD $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer 00 et OC.
\item Soit I la projection orthogonale de A sur OD.

Comparer les triangles OAI et ODB.

En déduire la longueur de AI.
\item Montrer que le quadrilatère AIDB est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre, J, et dont on calculera le rayon. Quelle est la tangente en O à ce cercle ?
\item Montrer que l'on a AD$^2$ = CB $\times $CA.

Calculer la longueur de CJ.
\item Calculer le sinus et le cosinus de l'angle $\widehat{\text{DOB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}