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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Deux vases A et B dont la contenance est 1 décalitre environ contiennent, l'un 6 litres de vin, l'autre 3 litres d'eau. On puise dans l'un $x$ cm$^3$ de vin et dans l'autre $y$ cm$^3$ d'eau.

On verse dans chacun le liquide puisé dans l'autre.

On veut que les mélanges ainsi obtenus soient de même composition (même rapport : volume de vin sur volume d'eau).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle doit être la relation entre $x$ et $y$ pour que cette, condition soit satisfaite ?

Que devient $y$ si $x$ augmente ? Représenter graphiquement $y$ en fonction de $x$ (échelle 2 cm pour \np{1000} cm$^3$).
\item Si l'on veut de plus que les volumes $x$ et $y$ soient égaux, quelle sera leur valeur ?

Solution algébrique et solution graphique.
\item On veut que les mélanges aient même composition et même. volume. Calculer $x$ et $y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Un triangle équilatéral ABC est inscrit dans un cercle de rayon $R$.

Les bissectrices des angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ de ce
triangle coupent le cercle en D et E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la place de D et celle de E sur les arcs
$\widearc{\text{AC}}$ et $\widearc{\text{AB}}$ ?

Quelle est la mesure de la corde [AE] en fonction de $R$ ?
\item Quel est le point de concours des bissectrices [BD) et [CE) ?
\item Soit O ce point. Quelle est la nature du quadrilatère EADO ? Calculer son aire.
\item On mène les tangentes en B et C au cercle donné.

Elles se coupent en S. Quelle est la nature du triangle BCS ?
\item Où se trouve le point I d'intersection des bissectrices des angles $\widearc{\text{CBS}}$ et $\widearc{\text{BCS}}$ ?

Que dire des distances de I aux trois côtés du triangle BSC ? 

Propriété du point I.
\end{enumerate}
\end{document}