\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Besançon juin 1956},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Besançon}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On veut construire une barre rectiligne AB de longueur $120$~centimètres en soudant bout à bout deux barres métalliques rectilignes [AO] et [OB] de longueur respectives $x$ et $y$ cm, [AO] pesant $30$ grammes par centimètre de longueur, [OB] pesant $70$~g par cm de longueur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver l'expression du poids $P$ de la barre en fonction de $x$.

Construire la courbe représentant cette fonction.

Utiliser cette courbe pour trouver la valeur de $x$ pour laquelle $P$ est égal à un nombre de gramme donné : \np{4400}~g.

On représentera $10$~cm sur l'axe des longueurs et $1$ kg sur l'axe des poids.
\item Trouver $x$ pout que les barres [AO] et [OB] aient le même poids.

Calculer ce poids. Vérifier.
\item En supposant que AO $= 60$~cm et OB $= 60$cm, où se trouve le point C de la barre [AB] tel que les segments [AC] et [CB] soient de même poids ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de centre O et de rayon $R$ dans lequel la corde [AB] est le côté du carré inscrit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer [AB] en fonction de $R$.
\item On prolonge [AB] au delà de B d'une longueur BP = AB, et l'on trace de P les tangentes (PM) et (PN) au  cercle de centre O, en M et N.

Calculer PM et OP.
\item On trace la corde [MN] qui coupe (OP) au point I.

Démontrer la similitude des triangles OMP, OMI et  IMP.

Donner les rapports de similitude de ces triangles pris deux à deux.

En déduire que OI $= \dfrac{\text{MI}}{2}$ et MI $=\dfrac{\text{IP}}{2}$.

Calculer $\overline{\text{OI}},\: \overline{\text{MI}}$ et $\overline{\text{IP}}$ en fonction de $R$.
\item Calculer le périmètre et l'aire du triangle MNP.
\end{enumerate}
\end{document}