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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1957}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit un carré MNPQ de côté $12$ cm.

On mène les parallèles à chacun des côtés de part et d'autre à la distance $x$ du côté correspondant.

On détermine ainsi un carré $(C)$ intérieur à MNPQ et un carré $(C')$ extérieur.

On suppose dans toute la suite que $x$ reste inférieur à $6$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la longueur $y$ du côté de $(C)$ et la longueur $y'$ du côté de $(C')$ en fonction de $x$.

Représenter graphiquement les variations de $y$ et de $y'$ sur un même graphique.

On portera $x$ en abscisses et $y$ et $y'$ en ordonnées.

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $y' = 2y$ ?

Donner une solution algébrique et une solution graphique.
\item Calculer en fonction de $x$ l'aire $S$ comprise entre les deux carrés $(C)$ et $(C')$.

Représenter sur un nouveau graphique les variations de $S$ (1 cm sur l'axe des ordonnées représentera $48$ cm$^2$).

Pour quelle valeur de $x$ la surface $S$ est-elle égale à celle du carré MNPQ ?

Solution algébrique et graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle isocèle ABC dont la hase [BC] mesure $6$~cm et la hauteur mesure AH $= 4$~cm.

On trace le cercle circonscrit à ce triangle, soit O son centre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur des côtés égaux [AB] et [AC] du triangle ABC.

Calculer le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC.

On pourra, par exemple, calculer la longueur du diamètre issu de A.
\item On désigne par B$'$ le point diamétralement opposé à B sur le cercle (O).

On abaisse de A la perpendiculaire sur CB$'$, soit AL.

Quelle est la nature du quadrilatère ALHB ?
\item On mène (AK) perpendiculaire à (BB$'$). Comparer les triangles BKA et CLA.

En déduire que AK = AL.
\item Quelle est la nature du quadrilatère BHKA ?

En déduire que H, K, L sont alignés.

\end{enumerate}


\end{document}