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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle MAB rectangle en M et dans lequel
 MA $= 5$~cm, MB $= 3$~cm.
 
Sur (MA), entre M et A, on prend un point P variable et l'on prolonge [MB] d'une longueur BQ = AP{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En désignant par $x$ les longueurs AP et BQ, déterminer $x$ de telle façon que les droites (AQ) et (BP) soient parallèles.
\item Calculer en fonction de $x$ les aires $y_1,\: y_2,\: y_3$ du triangle
MAQ, du triangle MBP et du quadrilatère APBQ.
\item Représenter, sur un même graphique les variations de $y_1,\: y_2,\: y_3$ en fonction de $x$.
\item Déterminer $x$ à  un mm près par défaut pour que l'aire du triangle MPQ soit égale au quart de l'aire du quadrilatère MPBQ.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur une demi-droite A$x$, on prend trois points B, C, D tels que AB $= a$, BC $= 2a$, AD $= 3a$.

On mène par B la perpendiculaire à [A$x$) sur laquelle on prend un point P tel que BP $= a$.

La perpendiculaire menée par C à (PD) rencontre cette  droite en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les quatre points P, B, C, H sont sur un cercle,
que la droite (AP) est tangente à ce cercle et que la droite (HB) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{H}}$ du triangle PHC.
\item Calculer PD, PH et HC en fonction de $a$.
\item Par P{}, on mène P$y$ parallèle à [A$x$), qui coupe le cercle en Q et on désigne par R l'intersection de (PD) et (QC).

Montrer que les droites (QD) et (PC) sont parallèles.

Calculer l'aire du quadrilatère PARQ en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}