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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1959}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1959}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1959 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs chacune des expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& (7 - 2x) (x + 5) - (21 - 6x) (2x - 1)\\
B(x)& = &4x^2 - 49.
\end{array}\]

\item Résoudre les équations 
\begin{center}$A(x) = 0$ \qquad et\qquad  $B(x) = 0$.\end{center}

Simplifier la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Soit $F'(x)$ la fraction obtenue.

Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F'(x)$ est-elle nulle ?

Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F'(x)$ n'a-t-elle aucun sens ?
\item Calculer $F'(x)$ pour $x = \sqrt 7$.

On donnera un résultat avec un dénominateur rationnel.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 5$~cm et AC $= 5\sqrt 3$~cm.

H est le pied de la hauteur issue de A. Le cercle de centre H  qui passe par A coupe la droite (AB) en D et la droite (AC) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que D, H, E sont trois points alignés.

Calculer AH et en déduire DE.
\item Calculer les angles des triangles ABC et ADE.

Calculer les longueurs des côtés du triangle ADE.
\item Le cercle de centre H passant par A coupe la droite (BC) en J et K.

De C on mène la tangente (CT) à ce cercle.

Calculer CH, CJ, CK et CT.
\item Montrer que les quatre points B, C, D, E sont sur un même cercle.
\end{enumerate}
\end{document}