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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soient deux axes de coordonnées rectangulaire X$'$OX et Y$'$OY, et le point A du plan ayant pour coordonnées (2~;~1).

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la droite (OA).

On trace la perpendiculaire en A à (OA) ; elle coupe l'axe X$'$X en B.

Calculer l'abscisse du point B et établir l'équation de la droite (AB).
\item Sur la hauteur [AH] du triangle OAB on prend le point H$'$ tel que HH$' = z$.

Par H$'$, on mène la parallèle à (OB) ; elle coupe (OA) en M et (AB) en N.

De M et N, on abaisse les perpendiculaires (MM$'$) et (NN$'$) sur (OB).

Évaluer en fonction de $z$ le demi-périmètre $P$ du rectangle ainsi formé.

Étudier et représenter graphiquement les variations de $P$ en fonction de $z$ lorsque H$'$ décrit [HA].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On considère un cercle (O) de diamètre [AB] tel que  AB $= 2 R$ et l'on prolonge [AB] d'une longueur BC $= R$.

Soient M un point variable sur le cercle (O) et P le point de la droite (AM) tel que
\[\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AP}} = \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'angle $\widehat{\text{BCP}}$ est droit.

En déduire la ligne décrite par le point P lorsque M décrit le cercle (O).
\item (MB) coupe la droite (PC) en D.

Montrer que le quadrilatère AMCO est inscriptible ; en déduire la
valeur du produit BM $\cdot $ BD en fonction de $R$.
\item La droite (BP) recoupe le cercle (O) en N.

Montrer que les points A, N, D sont alignés.
\item En supposant que l'angle $\widehat{\text{MAB}}$ soit égal à $30\degres$, étudier le triangle PAO et donner la longueur de ses côté en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}