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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit de facteurs les deux expressions suivantes:

\[\begin{array}{l c l}
A& = &(5x - 2)^2- (3x + 6)^2,\\
B &= &(x - 4) (3x - 7) - (x - 4)^2 - (4 - x) (6x - 5).
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction rationnelle $\dfrac{A}{B}$. On obtient une fraction $F$.

Préciser pour quelles valeurs de $x$ les fractions $F$ et $\dfrac{A}{B}$
prennent les mêmes valeurs numériques.
\item Calculer la valeur numérique de $\dfrac{A}{B}$ pour  $x= 2\sqrt{2}$. 
\item Résoudre l'équation $F = 1$.
\item Tracer, par rapport à deux axes de coordonnées
orthonormés, les droites représentatives de $y = 2x + $1
et $y = x - 1$.

Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection (résolution graphique seulement).

Comparer avec la solution de la question \textbf{4.}  Expliquer.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE} 

\medskip

Soit un cercle de centre O et une corde [AB] de ce cercle. 

Par un point C du segment [AB], on mène la corde [PP$'$] perpendiculaire à (OC) en C.

Les tangentes en P et P$'$ au cercle (O) se coupent en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que C est milieu de [PP$'$] et que la droite (OC) passe par M.
\item Comparer les produits $\overline{\text{CA}} \cdot  \overline{\text{CB}}$ et $\overline{\text{CP}} \cdot  \overline{\text{CP}'}$ , puis CP$^2$ et 
$\overline{\text{CO}} \cdot \overline{\text{CM}}$.

Montrer que $\overline{\text{CA}} \cdot  \overline{\text{CB}} =\overline{\text{CO}} \cdot \overline{\text{CM}}$.
\item Comparer les triangles COA et CBM. 

En déduire que le quadrilatère OAMB est inscriptible.
\item Montrer que (MC) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}