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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon juin 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[A(x) =(x- 2)(x - 3) -  (2 - x)(5 - x) - 4 + x^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item La développer et l'ordonner suivant les puissance décroissantes de $x$.
\item La décomposer en un produit de facteurs.
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{A(x)}{5(x - 2)- x(x - 2)}.\]
\item Déterminer $x$ pour que l'on ait $F(x)  = 0$.
\item Construire, sur un même graphique, les droite $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant les fonctions
\begin{center}$y_1 = x + 4$\qquad et\qquad $y_2 = 5 - x$. \end{center}

Comparer les directions de ces deux droites.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un cercle de centre O, de rayon $R$, et un diamètre [AB] de ce cercle.

La médiatrice, $(D)$, du rayon [OB] coupe [OB] en I.

Soit M un point du cercle.

Les droites (AM) et (BM) rencontrent $(D)$ respectivement en N et P.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ANI et PBI sont semblables.

En déduire que
\begin{center}IN $\cdot$ IP = IA $\cdot$ IB $= \dfrac{3R^2}{4}$.\end{center}
\item Montrer que les quatre points A, I, P et M sont ur un même cercle, dont on précisera le centre, E.
\item Montrer que (BN) est perpendiculaire à (AP).
\item Calculer la puissance du point B par rapport au cercle de centre E.
\item Dans le cas où $\widehat{\text{MAB}} = 30\degres$, évaluer en fonction de $R$ les longueurs des segments [MB] et [MA].
\end{enumerate}
\end{document}