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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression $A$ suivante :

\[A = (3x- 2)(x + 5)^2 - 9(3x- 2).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer cette expression et l'ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.

Calculer la valeur de $A$ pour $x = \sqrt{2}$ ; soit $A_{\sqrt{2}}$ cette valeur.
\item Mettre $A$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit l'expression B suivante :

\[B = (x +8)(x + 2)(2x - 1).\]

Simplifier la fraction $\dfrac{A}{B}$. 

Dans un système d'axes O$xy$, représenter graphiquement les fonctions $y_1 = 3x - 2$ et $y_2 = 2x - 1$. 

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
\item Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près par défaut de $A_{\sqrt{2}}$. calculé à la question \textbf{1.}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Sur une droite $\left(\Delta'\right)$ on porte, dans cet ordre, les points A, B et C tels que AB $= a$, BC $= 2a$ ($a$ étant une longueur donnée). 

En B on élève la perpendiculaire à (AC) et l'on y porte BH $= a$.

Soit (CD) la perpendiculaire abaissée de C sur (AH).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère (BHDC) est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le diamètre.
		\item Calculer la longueur du segment [HC] en fonction de $a$. 
		\item Quelle est la nature du triangle (AOC) ? 
		\item Calculer la longueur des segments [OC] et [HO] en fonction de $a$.
	\end{enumerate}
\item Le prolongement de [CD] coupe (BH) en E.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les triangles (EOH) et (EBC) sont semblables.
		\item  Quel est leur rapport de similitude ? 
		\item Établir la relation
	\end{enumerate}
	
\[\text{ED} \times \text{EC} = \text{EH} \times \text{EB}.\]

\item Montrer que (CH) est perpendiculaire au côté [AE] du triangle (AEC).
\end{enumerate}
\end{document}