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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f,\: g$ et $h$ de $\R$ 
dans $\R$ telles que
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&2x + 3,\\
g(x)&=&x^2,\\
h(x)&=&(2x + 3)(x - 5) + 4x^2 - 9.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les fonctions $A, B, C$ et $D$ telles que 
\begin{center}
$\begin{array}{l  l}
A(x) = f(x) + h(x), &B(x) = f(x) \times g(x),\\
C(x) = (f \circ g)(x)\:\text{et}\:& D(x) = (g \circ f)(x).
\end{array}$\end{center}

Écrire $A(x), B(x), C(x)$ et $D(x)$ sous forme de polynômes réduits et ordonnés.
\item Calculer $A\left(\dfrac15\right)$, puis calculer $B\left(\sqrt 2\right)$ et $C\left(\sqrt 3 - 1\right)$.
\item Factoriser $h(x)$, puis résoudre dans $\R$ l'équation
\[h(x) = 0.\]
\item On considère la fonction rationnelle $q$ telle que
\[q(x) = \dfrac{h(x)}{(3x + 5)^2 - (x + 2)^2}.\]

Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $q$ ?

Dans cet ensemble $\mathcal{D}$, simplifier l'expression $q(x)$, puis résoudre l'équation \[q(x) = 2.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé \Oij,
le point A a pour couple de coordonnées $(0~;~- 1)$ et le point C$(2~;~0)$.

Soit B et D deux autres points du plan $(P)$ tels que
\begin{center}$\vect{\text{OB}} = - 3\vect{\text{OA}}$\quad et \quad $\vect{\text{OD}} = - 3\vect{\text{OC}}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{\overline{\text{OB}}}{\overline{\text{OA}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{OD}}}{\overline{\text{OC}}}$ et en déduire que les droites
(AC) et (BD) sont parallèles.
\item Retrouver le résultat précédent en évaluant le vecteur $\vect{\text{BD}}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{AC}}$.
\item Soit M le milieu du bipoint (B, D) et N celui du bipoint (A, C).

Quelles sont les coordonnées de M et de N ?

Montrer que $\vect{\text{OM}} = - 3 \vect{\text{ON}}$.

Que peut-on dire des points O, M et N ?
\item Soit H la projection orthogonale du point O sur la droite (BD).

Calculer les distances $d$(B, D) et $d$(B, H).

Montrer que la droite (OH) est aussi une hauteur du triangle (O, A, C).
\end{enumerate}
\end{document}