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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

Soit les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3x + 2)^2 - (2x + 3)^2,\\
g(x)&=&x^2 - 2x + 1.
\end{array}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Les fonctions rationnelles $q$ et $h$  de $\R$ vers $\R$,
définies par
\begin{center}$q(x )=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ \qquad  et \qquad $h(x )= \dfrac{5(x +1)}{x - 1}$\end{center}
sont-elles égales ?
\item Calculer $h\left(-\dfrac13\right)$ et $h(2,3)$. 

Donner à ce dernier nombre une valeur approchée à $10^{-2}$ près par excès.
\item Résoudre, dans $\R$, les équations.
\begin{center}$h(x) =0$ \qquad  et  \qquad $h(x ) = 1.$\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\bigskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C définis par leurs coordonnées :
\begin{center}A$(-3~;~0)$,\qquad  B$(-6~;~-3)$ \quad et \quad C$\left(\dfrac32~;~\dfrac92\right)$.\end{center}


\begin{enumerate}
\item Exprimer les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ en fonction des vecteurs de base $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$.

Montrer que l'on peut écrire $\vect{\text{AB}}$ sous la forme $k \cdot \vect{\text{AC}}\: (k \in \R)$.

Que peut-on en déduire pour A, B et C ?
\item  Déterminer les coordonnées du point D pour que le quadruplet (C, O, B, D) soit un parallélogramme.

Déterminer les coordonnées du point M, centre de symétrie de ce parallélogramme.
\item Calculer les distances $d$(O, C), $d$(O, D) et $d$(C, D).

En déduire la nature du triangle (O, C, D).
\item Démontrer que le triangle (A, D, C) est rectangle en A.

En déduire que les points A, O, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 

Construire ce cercle sur une figure.
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{OMC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}