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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
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pdftitle = {Besançon juin 1984},
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1984}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

Remarques importantes :

L'usage de tables numériques et de calculatrices n'est pas autorisé.

Pour chacun des deux exercices:

\medskip

$\bullet~~$il est conseillé de traiter les questions dans l'ordre où elles se présentent,

$\bullet~~$il convient d'utiliser un brouillon et de reporter les réponses au fur et à mesure, aux emplacements prévus, sur les feuilles comportant les énoncés.

\medskip

\textbf{1\up{er} Problème}

\medskip

Entourer dans chaque cas la réponse qui convient:

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
$\sqrt{36}$ est égal à					&64			&18		&9\\ \hline
$\sqrt{9} + \sqrt{16}$ est égal à 		&5			&7		&12,5\\ \hline
$\sqrt{75}$ est égal à 					&$3\sqrt 5$	&37,5	&$5\sqrt 3$\\ \hline
$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt 2}$ est égal à	&9			&4,5	&3\\ \hline
\end{tabular}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Effectuer :\\
$5\sqrt{18} - 8\sqrt{50} + 7\sqrt{8} =$\\
$5\sqrt{3} \times \left(\sqrt{27} - \sqrt{2} \right) = $\\
$5\sqrt{48} \times 7\sqrt{75} = $\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par : $f(x) = 2x^2 - 9x + 11$\\
Calculer : $f(5) =$, \qquad $f(-3) =$,\qquad $f\left(\dfrac23\right) =$\\
En déduire un encadrement de $f\left(\dfrac23\right)$ d'amplitude 0,1\\
Calculer : $f\left(\sqrt 3\right) =$\\
Sachant que : $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, 
en déduire un encadrement de $f\left(\sqrt 3\right)$ d'amplitude  0,02\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Les lettres $x , y , z$ et $t$ désignent des réels quelconques.\\
Écrire sous forme développée :\\
$(x + y)^2 =$\\
$(y - z)^2 =$\\
$(z - t)(z + t) =$\\
$(2x - 7)(3x - 4) =$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Écrire sous forme d'un produit de facteurs du premier degré :\\
$(2x - 3)(3x + 5) + (3x + 5)(7x + 4) =$\\
$2x^2(x - 5) - 16x + 80 = $\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Résoudre les équations, inéquations et systèmes d'équations ou d'inéquations suivants :\\
$5x + 7 = 8x - 2$\\
$5x + 7 < 8x - 2$\\
$(5x+7)(2x- 3) = 0$\\
$\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y&=&21\\7x - 4y&=&1
\end{array}\right.$\\
$\left\{\begin{array}{l c l}
3x - 2 &<& x + 3\\
4x + 2 &<& 0
\end{array}\right.$\\
$\left\{\begin{array}{l c l}
3x - 2 &<& 0\\
5x + 3 &>& 0
\end{array}\right.$\\
$(3x - 4)^2 = 25$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{2\up{e} Problème}

\medskip

\Oij{} est un repère du plan.

I et J sont deux points de ce plan tels que : $\vect{\imath} = \vect{\text{OI}}$ et $\vect{\jmath} = \vect{\text{OJ}}$.

\begin{center}
\psset{unit=4.5mm}
\begin{pspicture}(-16,-10)(16,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=25,Dy=25](0,0)(-16,-10)(16,10)
\psdots(7,0)(0,3)(-7,3)(10,5)(14,6)%IJEHA
\uput[dr](7,0){I} \uput[l](0,3){J} \uput[ul](-7,3){E} \uput[ur](10,5){H} \uput[ur](14,6){A}
\psframe(0.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

Placer l'image C de A par la symétrie centrale de centre O. 

Placer l'image F de E par la symétrie centrale de centre O. 

Préciser et justifier la nature du quadrilatère AECF.

Placer l'image D de A par la projection orthogonale sur la droite (OI).

Placer l'image G de A par la projection orthogonale sur la droite (OJ).

Préciser et justifier la nature du quadrilatère AGOD.

Placer l'image I$'$ de 1par la symétrie orthogonale suivant la droite (OJ).

Placer l'image J' de J par la symétrie orthogonale suivant la droite (OI).

Préciser et justifier la nature du quadrilatère IJI$'$J$'$.

Placer l'image B de A par la symétrie orthogonale suivant la droite (OI).

Placer l'image K de H par la symétrie orthogonale suivant la droile (OI).

Préciser el justifier la nature du quadrilatère AHKB.

Placer l'image L de A par la translation de vecteur $\vect{\text{IJ}}$.

Placer l'image M de H par la translation de vecteur $\vect{\text{IJ}}$.

Préciser et justifier la nature du quadrilatère AHML.

Compléter en précisant pour chacun des points suivants ses coordonnées dans le repère \Oij : 

A(...; ...);\: H(...; ...);\: E(..;...).

On considère un triangle PQR tels que : PQ $= 6$,  PR $= 9$,  QR $= 11$.

Ce triangle PQR est-il rectangle ? Justifier votre réponse.

Soit S le point du segment [PR] tel que PS $= 6$.

La parallèle à la droite (RQ) passant par S coupe [PQJ en T.

Calculer : PT = 

\phantom{Calculer : }ST =

\medskip

Dans ce qui suit, supposons le plan muni d'un repère orthonormé. 

Considérons les points A el B de coordonnées: A$(- 5~;~- 8)$ ; B(7~;~8).

Calculer les coordonnées du milieu de [AB].

Calculer la distance AB.

Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$.

Écrire une équation de la droite (AB).

Considérons les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ de coordonnées : $\vect{u}(5~;~7),\: \vect{v}(x~;~8)$.

Pour quelle valeur de $x$, $\vect{u}$ et $\vect{v}$ ont-ils même direction ? pour quelle valeur de $x$, $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont-ils orthogonaux ?
\end{document}