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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Lyon, Besançon, Reims}
\lfoot{\small juin 1991}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon\footnote{Besançon, Reims}  juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans deux classes de 3\up{e} d'un collège, on fait une enquête pour connaître le nombre d'élèves qui souhaitent l'ouverture d'un club informatique.

En 3\up{e} A, 6 élèves sur 32 souhaitent l'ouverture.

En 3\up{e} B, 9 élèves sur 24 souhaitent l'ouverture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacune des classes, le pourcentage des élèves souhaitant l'ouverture du club.
\item Quel est le nombre total d'élèves ayant répondu favorablement.

Le club n'existera que si au moins 30\,\% des élèves de l'ensemble des deux classes ont répondu oui. 

Le club ouvrira-t-il ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La recette d'un match s'est élevée à \np{36500} F{}. Les spectateurs ont le choix entre deux possibilités:

\begin{itemize}
\item soit prendre une place dans les \og tribunes \fg{} à 50 F ;
\item soit prendre une place dans les \og populaires \fg{} à 30 F.
\end{itemize}

Sachant que \np{1000} spectateurs ont assisté au match, combien d'entre eux se sont installés dans les tribunes ?

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{5 \times 10^5 \times9 \times 10^3}{ 3 \times 10^9}$.
\item $x = \dfrac34,\, y = \dfrac78$.

Écrire sous la forme d'une fraction  : $\dfrac xy$, puis $x + y,\: x - y$.
\item Calculer $\left(2 - \sqrt{11}\right) + \left(2 + \sqrt{11}\right)$ et $\left(2 - \sqrt{11}\right)\left(2 + \sqrt{11}\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Factoriser l'expression $(2x - 3)(5x + 4) - 5(2x - 3)$.

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\emph{Les exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A, tel que AB :oc 2cm et AC = 4 cm.
\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC.
\item Calculer la longueur du côté BC et l'arrondir au dixième de centimètre.
\item Construire le point D symétrique de B par rapport à A et le point E
symétrique de C par rapport à A.

Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ? Justifier la réponse.
\item Placer le point F sur la droite (AB)tel que AF $= 6$ cm avec le point B entre A et F.

Tracer la droite parallèle à la droite (FC) passant par B ; elle coupe (AC) en G.

Calculer AG : donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au
dixième de centimètre.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB $= 8$ cm, AD $= 6$ cm et DH $= 4$ cm. (Ne pas reproduire la figure.)

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(5.8,4.1)
\psframe(0.2,0.2)(4.2,2.2)%HGCD
\psline(4.2,0.2)(5.2,1.7)(5.2,3.7)(4.2,2.2)%GFBC
\psline(5.2,3.7)(1.2,3.7)(0.2,2.2)%BAD
\psline(1.2,3.7)(4.2,2.2)(0.2,0.2)%ACH
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.7)(5.2,1.7)%EF
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,3.7)(1.2,1.7)%HAE
\uput[u](1.2,3.7){A} \uput[u](5.2,3.7){B} \uput[r](4.2,2.2){C} \uput[l](0.2,2.2){D}
\uput[ur](1.2,1.7){E} \uput[r](5.2,1.7){F} \uput[dr](4.2,0.2){G} \uput[dl](0.2,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de ce parallélépipède.
\item Calculer AC.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$. 

Donner la mesure au degré près le plus proche.
\item Calculer l'aire du triangle rectangle ADC.
\item On considère la pyramide de base ADC et de sommet H.

Calculer le volume de cette pyramide.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule :

\[\dfrac{(\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}}{ 3}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Les figures sont données à titre indicatif : elles devront être construites
de façon précise à la question d.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,5)
\pspolygon(0.2,0.2)(5.2,0.2)(5.2,4.3)(3.8,4.3)%DCBA
\psframe(5.2,4.3)(5,4.1)\psframe(5.2,0.2)(5.,0.4)
\pspolygon(6.1,0.2)(10.1,0.2)(7.2,3.2)%FGE
\psline[linestyle=dashed](7.2,3.2)(7.2,0.2)%EH
\psframe(7.2,0.2)(7.4,0.4)
\uput[u](3.8,4.3){A} \uput[u](5.2,4.3){B} \uput[d](5.2,0.2){C} \uput[d](0.2,0.2){D}
\uput[u](7.2,3.2){E} \uput[dl](6.1,0.2){F} \uput[dr](10.1,0.2){G} \uput[ul](7.2,0.2){H}
\uput[u](4.5,4.3){$x$} \uput[d](8.1,0.2){$8x$}
\end{pspicture}
\end{center}

Les longueurs sont exprimées en centimètres.

ABCD est un trapèze rectangle tel que AB $= x$, BC $= 4$, CD $= 6$.

EFG est un triangle dont EH est une hauteur : EH $= 3$, FG $= 8x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du trapèze est $2x + 12$.
\item Montrer que l'aire du triangle est $12x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ ces deux aires sont-elles égales?
\item Faire le dessin des deux figures sur papier millimétré dans un cas où les aires sont égales.
\item Construire un repère orthogonal sur papier millimétré tel que :

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses, 1 cm correspond à 0,1 ;
\item sur l'axe des ordonnées, 1 cm correspond à 2.
\end{itemize}

 Construire dans ce repère les droites d'équations:

\[y = 2x + 12 \qquad \text{et}\qquad  y = 12x.\]

\item Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

Que représente son ordonnée pour les figures ABCD et EFG ?
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire du trapèze ABCD est-elle supérieure à 15 cm$^2$ ?
\end{enumerate}
\end{document}