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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Besançon--Lyon--Reims--Strasbourg}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\huge{\textbf{\decofourleft~Brevet - Besançon\footnote{Lyon--Reims--Strasbourg}
 juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les calculs suivants sont indépendants.

Leurs détails devront figurer sur la copie.

Pour $A$ et $B$ on donnera les résultats sous la forme de fractions irréductibles.

Calculer :

\[A = \dfrac23 - \left(\dfrac32 \times \dfrac49 \right) + \dfrac12;\quad B = \left(- \dfrac{2,6}{39}\right) : \left(- \dfrac56 \right)  ; \quad C = 4 \times 10^3 \times 25 \times 10^{-5}\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme $a\sqrt b$ ($a$ étant un entier relatif et $b$ un entier
naturel), 

\[E = \sqrt{20}  - 4 \sqrt{45} + \sqrt{180}\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $F = (2a + 3)^2 - (a- 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $F$.
\item Développer, réduire, ordonner $F$.
\item Résoudre: $(a + 8)(3a - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle ADE rectangle en A tel que AD $= 5$ et AE $= 3$.

Soit le point B de la demi-droite [AD) tel que BA $= 8$.

La droite $(d)$ contenant B et parallèle à (DE), coupe (AE) en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette figure en vraie grandeur.
\item Calculer DE (au mm près),
\item Calculer EC
\item Calculer BC (au mm près).
\item Calculer $\tan \widehat{\text{AED}}$.
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{DEA}}$, puis celle de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ 
(les mesures des angles seront arrondies au degré le plus proche),
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un repère orthonormé (O, I, J),

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points B$( - 1~;~1)$ et C$(5~;~- 1)$.
\item Écrire une équation de la droite (BC).
\item Démontrer que K(2~;~0) est le milieu de [BC].
\item Écrire une équation de la droite $(m)$ contenant K et perpendiculaire à la droite (BC).
\item  Quelle est la propriété de la droite $(m)$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill }

\medskip

Monsieur Muybridge, citoyen de sa gracieuse Majesté la Reine d'Angleterre, et séjournant momentanément à Chaumont, doit aller travailler 2 fois par
semaine à Paris pendant 8 semaines en février et mars. 

La S. N. C. F{}. lui propose les conditions suivantes:

\begin{description}
\item[ ] \emph{Tarif A} dit \og de libre circulation \fg{} :
\np{1500}~francs par mois s'ajoutant à l'achat d'une carte annuelle de \np{1700} francs pour un nombre illimité de voyages.
\item[ ] \emph{Tarif B} : 60 francs l'aller et retour en plus de l'achat d'une carte annuelle de \np{1700} francs. 
\item[ ] \emph{Tarif C} : $300$ francs l'aller et retour.
\end{description}

\begin{enumerate}
\item Combien devrait-il payer s'il choisissait le \emph{Tarif A} ?
\item Même question pour les \emph{tarifs B} et \emph{C} ?
\item Quel serait pour lui le tarif le plus avantageux?

On désigne par P$b$ et P$c$ les prix totaux à payer pour chacun des \emph{tarifs B} et \emph{C} et par $n$ le nombre de voyages aller-retour effectués pendant la période considérée.
\item Exprimer P$b$ et P$c$ en fonction de $n$.
\item Calculer P$b(10)$ et P$c(10)$, les prix à payer pour chacun des \emph{tarifs B} et \emph{C}, pour $10$ voyages.
\item Que nous apprend la comparaison de ces deux derniers résultats ?
\item Tracer, pour $x$ supérieur à 0, dans un repère orthogonal et sur papier millimétré, les représentations des demi-droites:

\begin{center}
\begin{tabular}{c  l l}
$\left(d_1\right)$& d'équation $y = \np{4700}$\\
$\left(d_2\right)$&d'équation $y = 160x + \np{1700}$\\
$\left(d_3\right)$&d'équation $y = 300x$
\end{tabular}
\end{center}

On prendra en abscisse 1~cm pour 1~voyage et en ordonnée 1~cm pour $500$~francs et on placera l'axe des abscisses dans la direction de la plus grande longueur de la feuille.
\end{enumerate}
\end{document}