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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon--Reims juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les valeurs exactes des nombres suivants: (chaque résultat sera donné sous la forme la plus simple possible).

$A = - 3 \left(\dfrac13 - \dfrac54\right) - \left(\dfrac15 + 1\right)$

\medskip

$B = \dfrac{14}{15} : \left(- \dfrac{21}{65}\right)$

\medskip

$C = \dfrac{4,5 \times  10^{-4} \times 8 \times 10^6}{3^2 \times 10^2}$

\medskip

$D = \sqrt{20} + 2\sqrt{45}  - \sqrt{125}$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression:

\[A(x)= (3x - 1)^2 + 3(1 - 3x)(x + 2)\]


\item Résoudre l'inéquation $A(x) \geqslant 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une classe de Troisième, on demande à chacun des élèves combien de temps il passe dans l'autobus pour se rendre au collège.

Les réponses sont regroupées dans le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t$ en minutes&$0 < t \leqslant 5$ &$5 < t \leqslant 10$&$10 < t\leqslant 15$&$15 < t \leqslant 20$\\ \hline
Effectif&10 &14& 11& 7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tous les élèves ayant répondu, calculer l'effectif total de la classe.
\item Compléter le tableau ci-dessous (arrondir les pourcentages à $0,1$ près).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t$ en minutes&$0 < t \leqslant 5$	&$5 < t \leqslant 10$&$10 < t\leqslant 15$	&$15 < t \leqslant 20$\\ \hline
Fréquence en \%		&						&					&						&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quel est le pourcentage d'élèves passant au plus 15 minutes dans l'autobus pour se rendre au collège ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un parallélogramme ABCD.
\item Recopier et compléter en utilisant les points de la figure :

$\vect{\text{AB}} + \vect{\text{BC}} = \vect{\text{\ldots}}$

$\vect{\text{BC}} + \vect{\text{BA}} = \vect{\text{\ldots}}$

$\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} = \vect{\text{\ldots}}$

$\vect{\text{BC}} + \vect{\text{CA}} = \vect{\text{\ldots}}$
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'image E de B par la translation de vecteur
$\vect{\text{AC}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Justifier.
		\item Quelle est la transformation qui transforme le triangle DAC en le triangle CBE ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
Soit le tétraèdre ABCD ci-après :

(AC) est perpendiculaire à (CD) et (AC) est perpendiculaire à (BC). 

AC $= 6$ cm

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(13.7,9.6)
\pspolygon(5.5,8.8)(0.2,0.2)(12.8,0.2)%ABD
\psline[linestyle=dashed](5.5,8.8)(5.5,3)(0.2,0.2)%ACB
\psline[linestyle=dashed](5.5,3)(12.8,0.2)%CD
\uput[u](5.5,8.8){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[d](5.5,3){C} \uput[dr](12.8,0.2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne $\widehat{\text{BAC}} = 35\degres$.

Calculer BC (donner le résultat au mm près le plus proche),
\item On donne AD $= 8$ cm.

Calculer CD (donner le résultat au mm près le plus proche),
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la figure ci-après, en utilisant uniquement le quadrillage:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire en {\blue bleu} l'image A$'$B$'$C$'$ de ABC par la symétrie d'axe $\Delta$.
\item Construire en {\green vert} l'image A$_1$B$_1$C$_1$ de ABC par la symétrie centrale de centre O.
\item Construire en {\red rouge} l'image A$_2$B$_2$C$_2$ de ABC par la rotation
de centre D, d'angle $120\degres$, et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre,
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(11,10)
%\psgrid
\psframe(11,10)
\multido{\n=-18+1}{29}{\psplot[plotpoints=1000]{0}{11}{1.73205 x mul \n \space add}}
\multido{\n=0+1}{29}{\psplot[plotpoints=1000]{0}{11}{\n \space 1.73205 x mul sub}}
\psplot[plotpoints=1000]{0}{11}{1.732 x mul 2 add}
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline(0,\n)(11,\n)}
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=red](4,3)(4.9,4.5)(5.77,3)%ABC
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](4.62,0)(10.42,10)
\uput[dl](4.25,3){A} \uput[u](4.9,4.5){B} \uput[dr](5.77,3){C}
\uput[ur](3.45,3){D} \uput[d](3.75,2.5){O} \uput[ul](10.1,9.4){$\Delta$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](4.025,3)(4.9,4.5)(5.79,3)(3.45,3)(3.75,2.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{Partie I.} Dans un plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J) d'unité le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\Delta_1$ d'équation $y=  - \dfrac12 x  + \dfrac72$.
\item Soit le point B(3~;~2)
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que B appartient à $\Delta_1$.
		\item Donner une équation de la droite $\Delta_2$ passant par B et perpendiculaire à $\Delta_1$.
		\item Tracer $\Delta_2$
	\end{enumerate}	
\item Calculer les coordonnées du point D intersection
de $\Delta_2$ et de l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II.} Soit A$(-1~;~4)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que A appartient à $\Delta_1$.
\item Calculer AB et AD (donner les valeurs exactes).
\item Placer le point E de la demi-droite [AD) tel que $\dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} =  \dfrac58$.

Par E, tracer la droite $\Delta_3$ parallèle à $\Delta_2$. Elle coupe $\Delta_1$, en F.

Calculer AF (donner la valeur exacte).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle ABD et en déduire l'aire du triangle AEF.
\item ABD est la base d'une pyramide de volume 40 cm$^3$.

Calculer la hauteur $h$ de cette pyramide.
\end{enumerate}
\end{document}