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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre $x$ faut-il ajouter aux deux termes de la fraction $\dfrac83$ pour obtenir une fraction égale à $\dfrac32$ ?
\item Résoudre l'équation
\[\dfrac{x+ 6}{2} - \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{x + 22}{6}.\]

\item Le rapport de deux nombres est $\dfrac57$.

On augmente chacun d'eux de $500$ ; leur nouveau rapport devient
égal à $\dfrac{8}{11}$.

Quels sont les deux nombres primitifs?
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B.} - Les trois questions d'algèbre sont indépendantes}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soient A, M, B trois points alignés, M étant situé entre A et B.

[AM] mesure 4 cm, [MB] mesure 3 cm.

Un angle droit $\widehat{\text{CMD}}$ de sommet M coupe en C la perpendiculaire à (AB) en A et en D la perpendiculaire à (AB) en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AMC, BMD sont semblables.
\item On donne en outre AC $= 2$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le rapport de similitude des triangles AMC et BMD.
		\item Calculer BD, MC, MD et l'aire du triangle CMD.
		\item N étant le point d'intersection de la droite (CD) avec la droite (AB), calculer aussi AN et BN.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le cercle de diamètre [CD] coupe la droite (AB) en deux points, dont on précisera les positions.
\end{enumerate}
\end{document}