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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon \:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression algébrique 

\[E = \left(x^2 - 9\right)^2 - (x + 3)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner $E$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Présenter $E$ sous  forme d'un produit de facteurs du premier degré en $x$; puis résoudre l'équation en $x$, \: $E = 0$.
\item Calculer $E$, puis, $\dfrac 1E$ pour $x = - \sqrt 5$ (exprimer les résultats sans nombre irrationnel au dénominateur).

\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} Les trois questions sont indépendantes l'une de
l'autre.
\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Deux cercles $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ de centres O et O$'$ distants de $5$~cm ont respectivement 3 et 4 centimètres de rayons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner les deux cercles et appeler C et D leurs points d'intersection.

Montrer que le quadrilatère OCO$'$D a deux angles droits.

Calculer la longueur de sa diagonale [CD] et son aire $S$.
\item On mène par C une droite quelconque qui recoupe $(\mathcal{C})$ en A et $(\mathcal{C}')$ en A$'$.

Montrer que les triangles ADA$'$ et ODO$'$ sont semblables.
\item Lorsque (AA$'$) tourne autour du point C, sur quelle ligne se déplace le pied H de la perpendiculaire DH à la droite (AA$'$) ?

Construire géométriquement un des triangles AA$'$D tel que sa hauteur soit telle que DH $= 4$~cm, puis calculer la longueurs des côtés et l'aire de ce triangle.
\end{enumerate}
\end{document}