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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les axes $x'$O$x$ et $y'$O$y$ auxquels on rapporte le plan étant rectangulaires et l'unité de longueur étant le centimètre sur chacun des axes, construire la droite $D_1$ représentant la fonction $y = 2x - 2$ et la droite $D_2$ représentant la fonction $y = - 2x + 6$.

Déterminer par le calcul les coordonnées des point d'intersection de chacune des droites $D_1$ et $D_2$ avec les axes.
\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection, A, des deux droites $D_1$ et $D_2$ .

Solution algébrique.
\item On désigne par B le point où la droite $D_2$ coupe
$y'y$, par C celui où $D_l$ coupe le même axe.

On mène par A la parallèle à O$x$ qui coupe O$y$ en H.

Quelle est l'équation de la droite (AH) ?

Quelles sont les coordonnées de H ?

En déduire que le triangle BAC est isocèle.

Calculer les longueurs de ses côtés.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de diamètre [AB] et une droite $D$ perpendiculaire à (AB) en un point H extérieur au cercle situé du même côté que B par rapport au centre du cercle.

Une droite quelconque issue de A recoupe le cercle en M et rencontre la droite $D$ en M$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère BHM$'$M est inscriptible dans un cercle, dont on désignera le centre par I.

Préciser la position de I.
\item Comparer les triangles AMB et AHM$'$.

En déduire la relation
\begin{center}(1)\qquad  AB $\times$ AH = AM $\times$ AM$'$.\end{center}

Que peut-on dire du produit AM $\times$ AM$'$ lorsque
la droite (AM) varie en passant constamment par A ?
\item On appelle A$'$ le point tel que la droite $D$ soit médiatrice du segment [AA$'$.

O désignant le milieu de [AB], comparer les triangles AOM et AM$'$A$'$.

En déduire la relation

\begin{center}(2)\qquad  AM $\times$ AM$'$= AO $\times$ AA$'$.\end{center}
Pouvait-on déduire directement cette relation de l'égalité (1) ?
\item Lieu du point I lorsque la droite (AM) tourne autour de A.
\end{enumerate}
\end{document}