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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression
\[S = \dfrac{x}{x - 1} -  \dfrac{x - 3}{x + 1} - \dfrac{8(2x + 1)}{x^2 - 1}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Y a-t-il des valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $S$ n'a pas de sens ?
\end{enumerate}
On supposera dans ce qui suit que $x$ ne prend pas une telle valeur.
\begin{enumerate}[resume]
\item Effectuer la somme $S$ et mettre le résultat sous la forme la plus simple possible.
\item Calculer les valeurs numériques de $S$ pour $x = 2\sqrt 3$ 
et pour $x = -\dfrac52$.
\item Trouver la valeur de $x$ pour laquelle $S = 22$.
\item On pose $y = \dfrac{11}{S}$.

Étudier la variation de la fonction $y$ et la représenter graphiquement.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de centre O et de rayon $R$, on mène deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le segment de droite [CD] en P et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère OBMP est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre I.
\item Calculer la valeur du produit AP $\times$ AM en fonction de $R$.
\item Calculer AM et MB dans le cas où $R = 4$~cm et OP $= 3$~cm.
\item Le rayon $R$ restant égal à 4 cm, on suppose que le point P décrit le segment [CD].

Quel est le lieu géométrique du point I ?

Calculer la distance I$_1$I$_2$, séparant les extrémités I$_1$ et I$_2$, du lieu.
\end{enumerate}
\end{document}