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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{septembre 1961}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne le système

\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)&x- 3y+3&=&0,\\
(2)&x+y&=&5.
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le résoudre graphiquement et vérifier le résultat par le calcul.
\item Un point P{}, d'abscisse 1, est situé sur la droite (2) ; quelle est son ordonnée ?
\item Le point Q(4~;~1) est-il sur la droite (2) ?
\item Quelles sont les coordonnées du milieu M de [PQ] ?
\item Évaluer la distance PQ.
\item Donner l'équation de la parallèle à la droite (2)
qui passe par D$(- 1~;~-3)$ et la construire. 
\item Donner l'équation de la perpendiculaire à la
droite (2) passant par D.

La construire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Sur une droite $(xy)$ on porte A, B et C tels que  AC = CB $= a$.

Sur la perpendiculaire en C à (AB) on place M tel que  CM $= \dfrac a2$ ; On trace
le cercle de diamètre [AB] ; la droite (AM) coupe ce cercle en D.

Le point D se projette en H sur (AB).

La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ADB}}$ coupe (AB) en E.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer la similitude des triangles ACM, ADB et AHD.
\item Démontrer les relations suivantes:
\begin{center} AD $\cdot$ AM $=2a^2$\quad ;\quad  OB $\cdot$ AM $= a^2$\quad ;\quad DH = $\dfrac{\text{AH}}{2}$\end{center}

30 Calculer les longueurs suivantes:
\begin{center}AM,\quad  AD, \quad BD, \quad AH,\quad HB,\quad DH,\quad AE,\quad BE.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}