\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Besançon septembre 1962},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon septembre 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère l'expression
\[(1)\quad  E(x) = \left(x^2 - 4\right)^2 - 4 (x + 2)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La développer ; ordonner le résultat suivant les puissances décroissantes de $x$ (soit $E_1(x)$ la forme de $E(x)$ ainsi obtenue).
\item La décomposer en produit de facteurs du premier degré, dont certains pourront être identiques (soit $E_2(x)$ la forme de $E(x)$ ainsi obtenue).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur numérique de $E(x)$ pour
\begin{center}$x = 2$\qquad  et \qquad $x = 2\sqrt 3$.\end{center}
		\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $E(x) = 0$.
	\end{enumerate}
Dans chaque cas, on utilisera, en justifiant le choix adopté, celles des formes $E(x), E_1(x), E_2(x)$ qui paraît la mieux appropriée au calcul.
\item Simplifier l'expression

\[y = \dfrac{E(x)}{x^3 + 4x^2 + 4x}\]
et faire la représentation graphique de la fonction obtenue.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la corde [BC] telle que l'angle $\widehat{\text{CAB}}$ soit
égal à $30\degres$
\item On trace (CE) perpendiculaire à (AB).

Calculer CB, CA et CE.
\item On mène en A la tangente [A$x$) à la demi-circonférence.

On porte sur cette tangente une longueur AD $= 2$ CE.

Que pouvez-vous dire du triangle ADC ?
\item (DC) et (AB) se coupent en P{}.

Montrer que (DP) est tangente au demi-cercle et que E et C sont milieux de [AP] et [DP].
\end{enumerate}
\end{document}