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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon septembre 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit
\[A(x) = (2x - 3)(5x + 2) + (7x - 6)(6 - 4x) - \left(4x^2 - 9\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre l'expression $A(x)$  sous forme de produit de facteurs.
\item Résoudre l'équation $A(x)  = 0$.
\item Construire la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 2x - 3$ et la droite 
$\left(D_2\right)$ d'équation

 $y = - x + 1$.

(On prendra des axes orthonormés.)
\item Ces deux droites se coupent en A. Calculer le coordonnées de A.
\item Le point B de coordonnées $x = - 4,\: y = + 5$ appartient-il à la droite $\left(D_2\right)$ ?

De B on mène la perpendiculaire (BH) à $\left(D_1\right)$  [H appartenant à $\left(D_1\right)$]

Écrire l'équation de cette perpendiculaire.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un cercle de diamètre [AB], de centre O.

La perpendiculaire à [AB] en un point H du rayon [OA] coupe le cercle aux points C et D.

Soit I le milieu de [CH] ; (AI) coupe le cercle en M.

La tangente en M au cercle coupe (CD) en T.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle TIM est isocèle.
\item Montrer que (MA) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CMD}}$ et
évaluer le rapport $\dfrac{\text{MC}}{\text{MD}}$.
\item Comparer les triangles IMD et CMA.

En déduire que
\begin{center}MA $\cdot$ MI = MC $\cdot$ MD $= 3 \text{MC}^2$.\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}