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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les expressions suivantes : 
\[\begin{array}{l c l}
A &=& 4x^2 - 1 + (2x + 1) (x - 1)\:\text{et}\\
B &=& 9x^2 - 4.
\end{array}\]

\smallskip

\item Simplifier la fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction simplifiée est-elle égale à $+ 1$ ?
\item Représenter graphiquement, dans un système d'axes orthonormé, les fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x + 1$\quad  et \quad $y_2 = 3x + 2$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites ?

Quelle est l'équation de la droite qui passe par l'origine des coordonnées et par le point d'intersection de ces deux droites ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne un segment [AB] mesurant 5~cm.

Construire le point C, qui partage [AB] dans le rapport $- \dfrac 32$.

Calculer $\overline{\text{CA}}$ et $\overline{\text{CB}}$.
\item Soit le cercle de centre O et de diamètre [AB].

Ce cercle coupe en M et M$'$ la perpendiculaire menée de C à (AB).

Calculer les longueurs CM, AM et MB.
\item Le segment [AM] coupe en N la tangente en B au cercle.

Démontrer que les relations
\begin{center}
AM $ \times $ AB = AN $ \times $ AC et NB$^2 =$ NM $ \times $ NA\end{center}

sont vraies; calculer la longueur des segments [AN], [BN] et [MN], puis l'aire du quadrilatère BCMN.
\end{enumerate}
\end{document}